CAM, a.a. 2003-2004 - Esercizi 8 [Soluzioni]

Giampiero Palatucci 17 maggio 2004

1. Scrivere il polinomio di Taylor in x_{0} = 0 sino all’ordine 5 per le seguenti funzioni. a. sin^{3} x;

Si ha sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}, allora

sin x = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + o(x^{5}).

Da cui

sin^{3} x = (x − \frac{x^{3}}{3!} )^{3} + termini di ordine superiore... = x^{3} − \frac{x^{5}}{2} + o(x^{5}). b. (e^{x} − 1)^{2}.

Analogamente, poiché e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} , segue

(e^{x} − 1)^{2} = x^{2} + x^{3} + \frac{7}{12}x^{4} + \frac{x^{5}}{4} + o(x^{5}).

2. Sfruttare lo sviluppo di Taylor per calcolare i seguenti limiti.

a. lim_{x→0} (\frac{1}{x tan x} − \frac{1}{x^{2}} );

Subito, da tan x = \frac{sin x}{cos x}, si ha:

lim_{x→0} (\frac{1}{x tan x} − \frac{1}{x^{2}} ) = lim_{x→0} \frac{x cos x − sin x}{x^{2} sin x}

Sfruttiamo gli sviluppi in polinomi di Taylor per le funzioni trigonometriche; si ha:

x cos x = x (1 − \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})) = x − \frac{x^{3}}{2} + o(x^{4});

sin x = x − \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4});

x^{2} sin x = x^{2}(x + o(x)).

Da cui

lim_{x→0} \frac{x cos x − sin x}{x^{2} sin x} = lim_{x→0} \frac{−\frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})}{x^{3} + o(x^{3})} = −\frac{1}{3}.

b. Analogamente, si trova lim_{x→0} \frac{1 − cos x^{5}}{(sin x − x cos \frac{x}{\sqrt{3}})^{2}} = \frac{270^{2}}{2} .

3. Calcolare:

a. sin (0, 6) con un errore assoluto E ≤ 10^{−3}. Conviene utilizzare la formula del resto di Lagrange, che per la funzione sin x, fornisce:

R^{n}(x) = \frac{(−1)^{n+1} cos ξ}{(2n + 3)!} x^{2n+3}, per 0 < ξ < x opportuno.

Indichiamo con T^{n}(x) il polinomio di Taylor all’ordine n per la funzione sin x. Dunque

E = | sin x − T^{n}(x)| = |\frac{(−1)^{n+1} cos ξ}{(2n + 3)!} x^{2n+3}| ≤ \frac{x^{2n+3}}{(2n + 3)!}.

In particolare, per x = (0, 6), si ha

E = | sin (0, 6) − T^{n}(0, 6)| ≤ \frac{(0, 6)^{2n+3}}{(2n + 3)!} .

Allora, è sufficiente trovare il più piccolo n per cui si abbia

\frac{(0, 6)^{2n+3}}{(2n + 3)!} ≤ 10^{−3}.

Si vede facilmente che si tratta di n = 1. Quindi

sin(0, 6) = T^{1}(0, 6) ± E,

dove T^{1}(0, 6) = 0, 6 − \frac{(0, 6)^{3}}{3!} .

b. \sqrt{e} con un errore assoluto E ≤ 10^{−2}. Analogamente al caso (a), si trova

\sqrt{e} ≡ e^{0,5} = T^{8}(0, 5) ± E.