CAM, a.a. 2003-2004 - Esercizi 7

Giampiero Palatucci 28 aprile 2004

1. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e calcolarne il valore (quando possibile).

a. ∫_{0}^{3} ln xdx; b. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} ; c. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{(x − 4)\sqrt{|x|}}; d. ∫_{0}^{+∞} \frac{dx}{e^{x} + e^{−x}}; e. ∫_{0}^{+∞} x^{−2}e^{− \frac{1}{x}} dx.

2. Dire se esistono i seguenti integrali in senso improprio.

a. ∫_{0}^{+∞} \frac{ln (1 + x)}{x\sqrt{x}}dx; b. ∫_{0}^{1} \frac{1 + e^{x}}{x} dx; c. ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1 − x^{2})(2 − x^{2})}};

d. ∫_{ℝ} e^{−x^{2}}dx; e. ∫_{0}^{+∞} \frac{1 + 2 sin (arctan x) − e^{−x}}{1 + x^{2}} dx;

3. Sia α > 0, studiare l’integrabilità di f(x) := \frac{1}{x| ln x|^{α}} per x ∈ (0, +∞)\\{1\}.