Cognome e nome.......................................................................................................

CAM - Complementi di Analisi Uno, a.a. 2003/04

Comm. Prof. Mario Girardi

Prova di Esonero del 3 giugno 2004

ESERCIZIO 1 Calcolare il seguente limite utilizzando lo sviluppo di Taylor.

lim_{x→0} \frac{x^{2} − sin^{2} x}{x^{3}(e^{x} − cos x)}

Cognome e nome.......................................................................................................

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Prova di Esonero del 3 giugno 2004

ESERCIZIO 2 Dare un approssimazione con errore assoluto ≤ 10^{−3} del seguente integrale

∫_{0}^{1} cos(x^{2})dx Cognome e nome.......................................................................................................

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Prova di Esonero del 3 giugno 2004

ESERCIZIO 3 Discutere l’esistenza del seguente integrale improprio.

∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1 − x^{2})(1 − α^{2}x^{2})}}, (0 < α < 1).

Cognome e nome.......................................................................................................

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Prova di Esonero del 3 giugno 2004

ESERCIZIO 4 Discutere l’integrabilità in segno e in valore assoluto della funzione f(x) = \frac{sin x}{x} nell’intervallo (π, +∞):

A) ∫_{π}^{+∞} \frac{sin x}{x} dx; B) ∫_{π}^{+∞} \frac{| sin x|}{x} dx.

Cognome e nome.......................................................................................................

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Prova di Esonero del 3 giugno 2004

ESERCIZIO 5 A) Enunciare il “Primo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale”. B) Dimostrare la seguente proposizione: Siano I un intervallo della retta reale, n ∈ ℕ e f derivabile n + 1 volte con derivate continue in I, allora ∀x_{0}, x ∈ I si ha

f(x) = 𝕋_{x_{0}}^{n}f(x) + \frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt,

dove 𝕋_{x_{0}}^{n}f(x) è il polinomio di Taylor di grado n per f in x_{0}.

[Suggerimento: Dimostrare per induzione su n]