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CAM - Complementi di Analisi Uno, a.a. 2003/04

Comm. Prof. Mario Girardi

Prova di Esonero del 16 aprile 2004

ESERCIZIO 1 Determinare per quali valori dei parametri reali a e b la seguente funzione è continua e per quali valori è derivabile

f(x) := \begin{cases}a + bx & x ≤ 0, \\ e^{3x} − 1 & x > 0. \end{cases}

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Prova di Esonero del 16 aprile 2004

ESERCIZIO 2 Sia data la funzione f(x) := \frac{1 − 2x}{x − 1}e^{x}. Determinarne insieme di definizione, parità e disparità, segno, limiti ed asintoti, intervalli di monotonia, estremi relativi ed assoluti. Infine, disegnarne un grafico approssimativo.

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Prova di Esonero del 16 aprile 2004

ESERCIZIO 3 Calcolare i seguenti integrali.

A) ∫ \frac{2x + 1}{x^{2} − 3x + 2} dx; B) ∫ \frac{x}{cos x + 1} dx.

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Prova di Esonero del 16 aprile 2004

ESERCIZIO 4 Calcolare le dimensioni (altezza e lunghezza) del rettangolo di area massima inscritto in una semicirconferenza di raggio 2.

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Prova di Esonero del 16 aprile 2004

ESERCIZIO 5 A) Dare le definizioni di funzione derivabile in un punto x_{0} e di funzione convessa in un intervallo I della retta reale; enunciare una condizione necessaria e sufficiente di convessità per le funzioni derivabili due volte in un intervallo I. B) Enunciare il “Teorema di Rolle” e darne una dimostrazione.