ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

Calcolare i seguenti integrali:

1) ∫_{−1}^{+1} \frac{dx}{(x − 4)\sqrt{|x|}}

Conviene spezzare l’intervallo (−1, 1) in (−1, 0] ∪ (0, 1). ∫_{0}^{+1} \frac{dx}{(x−4)\sqrt{x}} = lim_{ε→0^{+}} ∫_{0}^{+1} \frac{dx}{(x−4)\sqrt{x}}. Si puó svolgere l’integrale indefinito sos-

tituendo x = t^{2} e si ottiene \frac{1}{2} log |\frac{t−2}{t+2} | = \frac{1}{2} log |\frac{\sqrt{x}−2}{\sqrt{x}+2} |. Quindi

lim_{ε→0^{+}} ∫_{0}^{+1} \frac{dx}{(x − 4)\sqrt{x}} = \frac{1}{2} log 3 − lim_{ε→0^{+}} \frac{1}{2} log |\frac{\sqrt{ε} − 2}{\sqrt{ε} + 2}| = \frac{1}{2} log 3.

Analogamente si calcola che ∫_{−1}^{0} \frac{dx}{(x−4)\sqrt{|x|}} = − arctan \frac{1}{2}

2) ∫_{0}^{+∞}(x^{2} − x)e^{−x}dx  [R.1]
3) ∫_{2}^{+∞} \frac{log x}{(x+1)^{2}} dx  [R. − \frac{2}{3} log 2 + log 3]
4) ∫^{+∞} \frac{dx}{e^{x}+e^{−x}}  [R.\frac{π}{4} ]
5) ∫_{0}^{+∞} x^{−2}e^{− \frac{1}{x}} dx  [R.1]

6) Discutere al variare di α e β l’esistenza del seguente integrale:

∫_{0}^{+∞} e^{−βx} sin αxdx  [R.esiste per α = 0, ∀β, e α ≠ 0, β ≥ 0]

Dire se i seguenti integrali convergono o meno:

7) ∫0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{x^{x^{x}−1}−1}  [R. converge]

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che lim_{x→0} x^{x^{x}−1} − 1 = lim_{x→0} e^{(x^{x}−1) log x} = 1, quindi l’integrando tende a +∞ in zero. Confrontiamolo con la funzione \frac{1}{x^{α}} , α ∈ (0, 1).

Usando De L’Hopital si ottiene:

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{α}}{e^{(x^{x}−1) log x} − 1} = lim_{x→0^{+}} \frac{αx^{α−1}}{e^{(x^{x}−1) log x}[e^{x log x}(log x + 1) log x + ((x^{x} − 1)\frac{1}{x})]}.

Per ogni α ∈ (0, 1) il limite viene finito (zero).

8) ∫_{0}^{1} x^{log x}dx  [R. non converge]
9) ∫_{0}^{+∞} sin^{2} xdx  [R. non converge]
10) ∫_{−∞}^{−1} \frac{e^{x}}{x^{2}} dx  [R. converge]
11) ∫_{0}^{2} ^{\frac{e^{\sqrt{x}}−1}{sin x}}dx  [R. converge]
12) ∫_{0}^{1} \frac{sin \sqrt{x}}{x}dx  [R. converge]