CAM, a.a. 2003-2004 - Esercizi 3

Giampiero Palatucci 22 marzo 2004

1. Dimostrare la validità delle seguenti disuguaglianze:

a. \sqrt{1 + x^{2}} ≤ \sqrt{1 + y^{2}} + |x − y|, ∀ x e y ∈ ℝ^{+};

b. 2 cos^{2} x − 3 sin x + 2 sin^{2} x < 3e^{−x} − 1, ∀x ∈ (0, \frac{π}{2} );

c. e^{x} ≥ 1 + x, ∀ x ≥ 0;

d. ln (1 + x) ≥ x − \frac{x^{2}}{x} , ∀ x ≥ 0.

2. Dire per quali α la funzione f(x) := e^{x} − αx^{3} è convessa.

3. Un triangolo rettangolo di ipotenusa data a viene fatto ruotare attorno ad uno dei due cateti per generare un cono circolare retto. Trovare il cono di volume massimo.