CAM, a.a. 2003-2004 - Esercizi 1

(a cura di Giampiero Palatucci)

1 marzo 2004

1. Calcolare, usando la definizione, la derivata delle seguenti funzioni:

a. ln x; b. e^{3x}; c. sin x.

2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, usando i teoremi sulla derivazione del prodotto e della composizione di funzioni:

a. a^{x} (a > 0, a ≠ 1); b. f(x)^{g(x)}.

3. Usando le tabelle delle derivate delle funzioni elementari, calcolare (se esiste) la derivata delle funzioni seguenti, definite in tutto ℝ, studiando in particolare i punti in cui i teoremi generali non sono applicabili.

a. f(x) = x sin \sqrt[3]{x}; b. f(x) = \begin{cases}\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x}}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0; \end{cases} c. f(x) = \begin{cases}\begin{matrix}sin & 2 & |x| \\ ^{3} & \sqrt{x^{4}} \end{matrix}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0. \end{cases}

4. Studiare la continuità in zero della seguente funzione e della sua derivata prima:

f(x) = \begin{cases}x^{2} sin \frac{1}{x}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0. \end{cases}

5. Calcolare la derivata della funzione f(x) = arctan x + arctan (\frac{1}{x}) in ogni punto del suo dominio. Calcolare inoltre f(1) e f(−1). Possiamo applicare il Teorema della derivata nulla(^{1})? Disegnare il grafico della funzione f.

1 Teorema della derivata nulla. Sia f una funzione derivabile in un intervallo I. Se f′ è identicamente nulla in I allora f è costante.