Esercizi sull’uso delle derivate

Esercizio 1 Calcolare

lim_{x→0} ∫_{x}^{2x} \frac{sin x}{x} x > 0

Esercizio 2 Dimostrare che per ogni x ∈ [0, 1] si ha

arccosx = 2 arcsin \sqrt{\frac{1 − x}{2}}

Esercizio 3 Sia f continua e derivabile due volte in (a, b), con derivata prima continua. Supponiamo che esista un punto c ∈ (a, b) tale che f(a) = f(b) = f(c). Dimostrare che esiste y ∈ (a, b) tale che f′′(y) = 0.

Esercizio 4 Si dimostri la seguente generalizzazione del Teorema di Rolle: sia f : [a, +∞) → IR una funzione derivabile tale che

lim_{x→+∞}f(x) = f(a).

Allora esiste un punto ξ ∈ (a, +∞) tale che f′(ξ) = 0. Esercizio 5 (Teorema della media integrale pesata) Siano g(x), p(x) die funzioni integrabili in [a, b) e sia p(x) ≥ 0 in [a, b]. Dimostrare che ∀x, x_{0} ∈ [a, b], (x > x_{0}) si ha

l(x, x_{0}) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt ≤ ∫_{x_{0}}^{x} g(t)p(t)dt ≤ L(x, x_{0}) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt,

e che se g(x) é anche continua esiste un punto ξ ∈ (x, x_{0}) tale che ∫_{x_{0}}^{x} g(t)p(t)dt = g(ξ) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt