Soluzioni degli esercizi sull’uso delle derivate

Esercizio 1

Poiché la funzione \frac{sin x}{x} é continua per ogni x ≠ 0, applichiamo il Teorema della media integrale e otteniamo:

lim_{x→0} ∫_{x}^{2x} \frac{sin x}{x} = lim_{x→0}(2x − x)\frac{sin ξ}{ξ} ξ ∈ (x, 2x).

Per x → 0 anche ξ → 0, quindi, sempre grazie alla continuitá della funzione in oggetto, passando al limite si ottiene

lim_{x→0}x\frac{sin ξ}{ξ} = 0.

Esercizio 2

Consideriamo la funzione differenza

f(x) = arcosx − 2 arcsin \sqrt{\frac{1 − x}{2}}

voglio provare che f(x) é sempre identicamente nulla, quindi derviamola:

f′(x) = −\frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} − 2\frac{1}{\sqrt{1 − \frac{1−x}{2}}} · \frac{1}{2} (\frac{1 − x}{2})^{− \frac{1}{2}} · −\frac{1}{2} =

= −\frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + x}} \frac{1}{\sqrt{1 − x}} = −\frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = 0 ∀x ∈ [0, 1]

pertanto la funzione é costante e vale

f(x) = f(1) = 2kπ − 2(kπ) ≡ 0.

Esercizio 3

Applichiamo il Teorema di Rolle alla funzione f(x) per x ∈ (a, c), dato che la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo. Il teorema assicura l’esistenza di un punto ξ_{1} ∈ (a, c) tale che f′(ξ_{1}) = 0. Applichiamo di nuovo il teorema di Rolle a f(x) nell’intervallo (c, b), di nuovo sappiamo che esiste un punto ξ_{2} ∈ (c, b) tale che f′(ξ_{2}) = 0. Applichiamo ora lo stesso teorema a f′(x) nell’intervallo (ξ_{1}, ξ_{2}), sapendo che agli estremi f′ assume lo stesso valore (cioé zero!). Possiamo ora dedurre l’esistenza di un punto ξ_{3} ∈ (ξ_{1}, ξ_{2}) tale che f′′(ξ_{3}) = 0.

Esercizio 4

Osserviamo innanzitutto che l’usuale dimostrazione del Teorema di Rolle non puó essere usata perché non siamo su un insieme compatto. Supponiamo che a ed f(a) siano positivi (non é restrittivo!). Se la funzione é costante allora la proposizione é banalmente verificata, quindi supponiamo che f non sia costante. Esisterá un punto x_{1} > a tale che f(x_{1}) ≠ f(a), ad esempio f(x_{1}) > f(a). D’altra parte, dalla definizione di limite deduciamo che

∀ε > 0, ∃M > 0 : f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε)∀ x > M

e, poiché é vero per ogni ε possiamo scegliere ε abbastanza piccolo (di conseguenza M sará molto grande) in modo che

(∗) f(a) − ε < f(x) < f(a) + ε < f(x_{1}), x > M

Sia x_{2} un punto che verifica (∗). Dato che la funzione é continua, per il Teorema dei valori intermedi, esisterá x_{3} ∈ (x_{1}, x_{2}) tale che f(x_{3}) = f(a). A questo punto possiamo applicare la usuale versione del Teorema di Rolle, nel compatto [a, x_{3}], nel quale f assume lo stesso valore agli estremi e quindi concludere che esiste x_{4} ∈ (a, x_{3}) ⊂ (a, +∞) tale che f′(x_{4}) = 0.

Esercizio 5

Siano rispettivamente L(x, x_{0}) = sup_{(x,x_{0})} g(t) e l(x, x_{0}) = inf_{(x,x_{0})} g(t). Si ha ovviamente

l(x, x_{0}) ≤ g(x) ≤ L(x, x_{0}) ∀x ∈ (x, x_{0}),

pertanto, essendo p(x) > 0,

l(x, x_{0}) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt ≤ g(x) ≤ L(x, x_{0}) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt ∀x ∈ (x, x_{0}).

Se g(x) é anche continua essendo la quantitá

\frac{∫_{x_{0}}^{x} g(t)p(t)dt}{∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt}

compresa tra gli estremi inferiore e superiore di g(x), per il teorema dei valori intermedi questa quantitá sará uguale a g(ξ) per un certo ξ ∈ (x, x_{0}), quindi

∫_{x_{0}}^{x} g(t)p(t)dt = g(ξ) ∫_{x_{0}}^{x} p(t)dt.