Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 1. Calcolare il limite delle seguenti successioni:

lim_{n→∞} (1 + \frac{3 + 2^{n}}{e^{n}} )^{\frac{e^{n}}{2^{n}}} =

= lim_{n→∞} (1 + \frac{3 + 2^{n}}{e^{n}} )^{\frac{e^{n}}{3+2^{n}} ·\frac{3+2^{n}}{e^{n}} ·\frac{e^{n}}{2^{n}}} =

= e^{1}.

Si usa il limite notevole (1 + \frac{1}{a_{n}} )^{a_{n}} → e, con a_{n} = \frac{3+2^{n}}{e^{n}} → 0

lim_{n→∞} \frac{1}{log ^{n} \sqrt{n}} sin(log ^{n} \sqrt{n}) · \frac{7n^{\frac{2}{3}} − 4n^{\frac{1}{3}}}{4 ^{3} \sqrt{n^{2}}} =

lim_{n→∞} \frac{1}{log ^{n} \sqrt{n}} sin(log ^{n} \sqrt{n}) · lim_{n→∞} \frac{7n^{\frac{2}{3}} − 4n^{\frac{1}{3}}}{4 ^{3} \sqrt{n^{2}}} =

= 1 · \frac{7}{4}

Si usa il limite notevole a_{n} sin \frac{1}{a_{n}} → 1, con a_{n} = log ^{n} \sqrt{n} → 0.

Esercizio 2. Determinare per quali valori del parametro reale x la seguente serie converge

+∞ ; ∑ ; n=1 x^{2n} \frac{1}{(2 + n)^{2}}

Usiamo il criterio della radice ennesima:

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{x^{2n} \frac{1}{(2 + n)^{2}}} = |x|^{2}

quindi la serie converge assolutamente per |x| < 1. Per x = ±1 la serie diventa

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{1}{(2 + n)^{2}}

che converge per ché ha lo stesso andamento di ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}}.

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = \frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n}

Osserviamo che il termine \frac{arctan(−e)^{n}}{n} → 0, dato che la funzione arcotangente é limitata. Studiamo le sottosuccessioni dei pari e dei dispari:

a_{2n} = \frac{arctan(e)^{2n}}{2n}+4 → 4, a_{2n+1} = \frac{arctan(−e)^{2n+1}}{2n + 1}−4 → −4.

Dimostriamo che −4 é minimo limite: essendo limite di una sottosuccessione quello che resta da provare é che qualsiasi numero piú piccolo di −4 é un minorante definitivo, ovvero

∀ε > 0∃ν : ∀n ≥ ν − 4 − ε ≤ \frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n},

quindi

\frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n} ≥ \frac{−\frac{π}{2}}{n} − 4 ≥ −4 − ε ⇔ n ≥ \frac{π}{2ε}.

Dimostriamo ora che 4 é massimo limite: essendo limite di una sottosuccessione quello che resta da provare é che qualsiasi numero piú grande di 4 é un maggiorante definitivo, ovvero

∀ε > 0∃ν : ∀n ≥ ν 4 + ε ≥ \frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n},

quindi

\frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n} ≤ \frac{\frac{π}{2}}{n} + 4 ≤ 4 + ε ⇔ n ≥ \frac{π}{2ε}.

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

lim_{n→∞} \frac{e^{log_{10} n}}{n^{2} + 3}.

Osserviamo che log_{10} n = log_{e} n log_{10} e, pertanto e^{log_{10} n} = e^{log_{e} n log_{10} e} = n^{log_{10} e} e considerando che log_{10} e < 1, si ha

lim_{n→∞} \frac{e^{log_{10} n}}{n^{2} + 3} = 0.

Esercizio 5. Dire se la seguente serie converge:

+∞ ; ∑ ; n=1(−1)^{n} \frac{1}{n^{2} − 10n + 9}

Escludiamo n = 1, 9 perché annullano il denominatore. Per usare il criterio di Leibniz si deve verificare che il la successione a_{n} = \frac{1}{n^{2}−10n+9} tende a zero, é positiva e decrescente, le ultime proprietá possono essere verificate anche solo definitivamente. Infatti:

\frac{1}{n^{2} − 10n + 9} → 0,

\frac{1}{n^{2} − 10n + 9} > 0 ⟺ n^{2} − 10n + 9 > 0,

ovvero n < 1, n > 9, quindi per n ≥ 10 la successione é positiva. Verifichiamo la decrescenza, ovvero che a_{n} ≥ a_{n+1} :

\frac{1}{n^{2} − 10n + 9} ≥ \frac{1}{(n + 1)^{2} − 10(n + 1) + 9} ⇔

⇔ n^{2} − 10n + 9 ≤ (n + 1)^{2} − 10(n + 1) + 9 ⇔

⇔ 9 ≤ 2n ⇔ n > \frac{9}{2}.

Essendo verificate le ipotesi del criterio di Leibniz, alcune solo definitivamente, ma é sufficiente, la serie converge.