Soluzioni III tutorato AM01a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

14 ottobre 2004

Esercizio 1. Verificare quale tra le seguenti è una distanza in ℝ:

a) d(x, y) = \sqrt{|x − y|}

La distanza è una funzione da ℝ a ℝ^{2} che verifica le seguenti proprietà:

• d(x, y) ≥ 0 ∧ d(x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ ℝ -In questo primo caso che la distanza sia ≥ 0 è ovvio perchè la radice è definita positiva. \sqrt{|x − y|} sarà uguale a 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x = y. OK! La prima propietà è verificata!!!

• d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ ℝ -Per la seconda proprietà sfruttiamo quello che conosciamo sui moduli: d(x, y) = \sqrt{|x − y|} = \sqrt{| − (x − y)|} = \sqrt{|y − x|} = d(y, x). OK!

• (disuguaglianza triangolare) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(x, z)∀x, y, z ∈ ℝ -Devo verificare se \sqrt{|x − y|} ≤ \sqrt{|x − z|} + \sqrt{|z − y|} ⇒ facendo i quadrati ottengo |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| + 2\sqrt{|x − z|}\sqrt{|z − y|}. Se verifico la disuguaglianza che ho appena ottenuto ho finito... Poichè |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y| ≤ |x − z| + |z − y| + 2\sqrt{|x − y|}\sqrt{|y − z|}. OK!!

Questa è una distanza!!

b) d(x, y) = |x^{2} − y^{2}| Non vale la prima propietà, non è una distanza!

N.B. Perchè sia una distanza la funzione deve verificare tutte le proprietà quindi appena una non è verificata potete concludere senza verificare le altre...

c) d(x, y) = |x − y|^{2} Non vale la disuguaglianza triangolare, non è una distanza.

d) d(x, y) = |\sqrt{|x|} − \sqrt{|y|}| Non vale la prima proprietà, non è una distanza.

e) d(x, y) = \begin{cases}1 & se x ≠ y \\ 0 & se x = y \end{cases} È una distanza!

Esercizio 2. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

n^{n} ≥ n!

• Base induttiva: 1 ≥ 1 OK!

• Ipotesi induttiva: n^{n} ≥ n!

• Tesi: (n + 1)^{n+1} ≥ (n + 1)!

(n + 1)^{n+1} = (n + 1)(n + 1)^{n} ≥ (n + 1)n^{n} (ipotesi induttiva) ≥ (n + 1)(n!) = (n + 1)! OK!

Esercizio 3. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

∑_{k=0}^{n}(4k + 1) = (2n + 1)(n + 1)

Esercizio 4. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

• P_{1} : 1 = \frac{1(2)(3)}{6} OK.

• P_{n} : ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

• P_{n+1} : ∑_{k=1}^{n+1} k^{2} = (n + 1)^{2} ∑_{k=1}^{n} k^{2} = ipotesi induttiva (n + 1)^{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n^{2}+n+6n+6)}{6} = \frac{(n+1)(2n^{2}+4n+3n+6)}{6} = \frac{(n+1)[2n(n+2)+3(n+2)]}{6} = \frac{(n+1)(2n+3)(n+2)}{6} OK!!

Esercizio 5. Dimostrare la seguente proprietà, applicando il principio d’induzione: per tutti i naturali n ∈ ℕ, la potenza n-esima di 4 diminuita di 1 è divisibile per 3.

Esercizio 6. Dimostrare che ∀n ∈ ℕ ⇒ ∑_{k=0}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Esercizio 7. Dimostrare, per induzione, le seguenti uguaglianze:

∑_{k=0}^{n} k^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2} = (∑_{k=0}^{n} k)^{2}

Per qualsiasi chiarimento o segnalazione di errori potete contattare il tutore del corso tramite una mail all’indirizzo urbinati_st@libero.it