Soluzioni II tutorato AM01a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

7 ottobre 2004

Esercizio 1. Dimostrare che:

||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|

- Questa è l’impostazione per la risoluzione più rapida che evita di affrontare il problema caso per caso:

||a|−|b|| ≤ |a−b| ⇔ ||a|−|b||^{2} ≤ |a−b|^{2} ⇔ a^{2}+b^{2}−2|ab| ≤ a^{2}+b^{2}−2ab ⇔ |ab| ≥ ab

Esercizio 2. Dimostrare che, se a, b, c ∈ ℝ^{+}, risulta:

a) a^{2} + b^{2} + c^{2} ≥ ab + bc + ac

b) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

c) a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + a^{2}c^{2} ≥ abc(a + b + c)

- Per la risoluzione di questi esercizi utilizzate la formula: a^{2} +b^{2} ≥ 2ab

Esercizio 3. Dire per quali x ∈ R sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:

1. con i moduli

(a) |x^{2} − 3x + 2| < x + 1 - PASSO 1: in quali intervalli la funzione α = x^{2} − 3x + 2 assume valori positivi (α ≥ 0)? Negli intervalli x ≤ 1 e x ≥ 2 -PASSO 2: studio la disequazione imponendo α ≥ 0 ⇒ x^{2} − 3x + 1 < x + 1 che è verificata in 2 − \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}. Ricordandoci gli intervalli su cui stiamo lavorando (x ≤ 1 e x ≥ 2) basterà fare l’intersezione! Se α ≥ 0 ⇒ 2 − \sqrt{3} < x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x < 2 + \sqrt{3} -PASSO 3: ora considero α < 0... Trovo che la disequazione è verificata ∀x ∈ [1, 2] -PASSO 4: faccio l’UNIONE dell soluzioni PER OGNI intervallo, ottenendo in questo caso: 2 − \sqrt{3} < x < 2 +

\sqrt{3}

(b) |\frac{|x+1|+3}{|2x|+1} | ≤ 4

-Fate attenzione... la funzione all’interno del modulo è OVVIAMENTE sempre positiva.

(c) |2 tan^{2} x − tan x| < 2 -Sostituite tan x con y e risolvete come una disequazione di secondo grado. Ricordatevi di esplicitare la x!!!!

(d) |\sqrt{3} sin x − cos x| ≤ 1 -Da utilizzare anche nel punto c) del prossimo esercizio: chiamate sin x = Y e cos x = X, poi ricordatevi della relazione fondamentale della trigonometria sin^{2} x + cos^{2} x = 1. Ora potete fare una discussione grafica con la retta e la circonferenza...

2. trigonometriche

(a) \frac{sin x−cos x}{4 sin x+9} ≥ 0 -Il denominatore è sempre maggiore di zero... a questo punto potete discutere facilmente la disequazione con la circonferenza goniometrica!

(b) cos(2x) + cos(x) < 0 -suggerimento: utilizzate la formula cos 2x = 2 cos^{2} x − 1, poi chiamate cos x = y e risolvete come una disequazione di secondo grado. Ricordatevi poi alla fine di controllare le condizioni sul coseno di x e non fermatevi ad y...

(c) \sqrt{3} sin x − cos x + 1 < 0

(d) (4 − \sqrt{6}) sin^{2} x − \sqrt{6} cos^{2} x + 2\sqrt{3} sin x > 2\sqrt{2} sin x -suggerimento: trasformate cos^{2} x = 1 − sin_{2} x.

(e) 4 sin x tan x − \frac{3}{cos x} < 0 Ricordatevi di studiare il segno di cos x quando mettete a fattor comune... non lo potete semplicemete semplificare imponendo che sia diverso da zero.

3. esponenziali

(a) 3^{x} − 5 · 3^{1−x} ≤ 2 -Strategia: imponete 3^{x} = t.

(b) 3^{x−1} > \frac{4^{x+1}}{5} -Sol: x < log_{\frac{3}{4}} \frac{12}{5}

4. logaritmiche

(a) log_{\frac{1}{2}} (x^{2} − 1) > 0

-Ricordate SEMPRE di imporre le condizioni di esistenza del logaritmo!!! sol: x < −\sqrt{2} ∨ x > \sqrt{2}

(b) log x + log(x + 3) < 1
(c) 2 log_{0,7}(x + 1) − log_{0,7}(x − 1) > log_{0,7}(3x − 1)

-Fate attenzione... la base del logaritmo è minore di 1!

(d) log_{\frac{1}{2}} (7 − 2^{x}) − log_{\frac{1}{2}} (5 + 4^{x}) + log_{\frac{1}{2}} 7 ≥ 0

5. ...per concludere

(a) | cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}} sol: x ∈ (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4)

(b) | log_{9}(2x^{2} − x + 1) − log_{3}(x − 2)| ≤ 1

(c) log_{2}(2 sin^{2} x − sin x + 3) > 2

(d) 2 log_{\frac{1}{2}} tan x ≤ log_{\frac{1}{2}} 3

Esercizio 4. Dimostrare che \sqrt{3} non è un numero razionale.

-Similmente alla dimostrazione fatta in aula per \sqrt{2}:

sia per assurdo \sqrt{3} un numero razionale. Allora lo possiamo scrivere come rapporto tra due numeri interi positivi coprimi, n ed m: MCD(n,m)=1!! ⇒ \sqrt{3} = \frac{n}{m} ⇒ 3 = \frac{n^{2}}{m^{2}} ⇒ 3m^{2} = n^{2} ⇒ 3|n^{2} ⇒ 3|n ⇒ n = 3k. Sostituendo nell’uguaglianza al terzo passaggio avremo 3m^{2} = 9k^{2} ⇒ m^{2} = 3k^{2} ⇒ 3|m. Abbiamo così che MCD(m, n)=3, negando l’ipotesi iniziale e ottenendo ubn ASSURDO!!