SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

Riassumiamo i principali criteri di convergenza a nostra disposizione:

CRITERI PER SERIE A TERMINI POSITIVI Criterio del confronto: siano a_{n} ≥ 0, b_{n} ≥ 0, allora, se

∃\overline{n} : a_{n} ≤ b_{n} ∀n > \overline{n}

si ha

∑_{n=1}^{+∞} a_{n} ≤ ∑_{n=1}^{+∞} b_{n}

quindi se ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} converge, anche ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} converge. Criterio della radice n-sima: se lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} < 1, allora ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} converge, se lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} > 1, allora ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} diverge, se il limite é uguale ad 1 non si puó concludere nulla. Criterio del rapporto: se lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1, allora ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} converge, se lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1, allora ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} diverge, se il limite é uguale ad 1 non si puó concludere nulla. Criterio del rapporto asintotico: siano a_{n} ≥ 0, b_{n} > 0, allora, se lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l segue che:

(i) caso l ∈ IR \{0}: ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} converge se e solo se ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} converge, ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} diverge se e solo se ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} diverge. In altre parole le due serie hanno lo stesso comportamento. (ii) caso l = 0: ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} convergente ⟹ ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} convergente; ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} divergente ⟹ ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} divergente;

(iii) caso l = +∞: ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} divergente ⟹ ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} divergente; ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} convergente ⟹ ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} convergente.

CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO

Criterio di Leibniz: Se a_{n} ≥ 0, é decrescente e lim_{n→∞}a_{n} = 0, allora ∑_{n=1}^{+∞}(−1)^{n}a_{n} converge.

CRITERI PER SERIE DI SEGNO QUALUNQUE Criterio dell’assoluta convergenza:(ovvero: se la serie cambia segno l’unico modo per studiarla e’ mettere i valori assoluti...) Se la serie ∑_{n=1}^{+∞} |a_{n}| converge, allora converge anche |∑_{n=1}^{+∞} a_{n}|.

Esercizio 1

(i) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{3x−10}{2})^{n} · \frac{1}{n^{2}} Usando il criterio della rdice n-sima troviamo che la serie converge assolutamente (perché per applicare questo criterio dobbiamo inserire il modulo e quindi si studia la convergenza assoluta!) se |\frac{3x−10}{2} | < 1 e risolvendo si trova l’intervallo x ∈ (\frac{8}{3}, 4). Possiamo provare a verificare se c’é convergenza semplice negli estremi. Per x = \frac{8}{3} si ottiene la serie ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n^{2}} che converge per il criterio di Leibniz (si veda l’esercizio 2), e per x = 4 si ottiene la serie ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} che converge.

(ii) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{cos nπ}{x−2} )^{n} · \frac{1}{n} Osserviamo innanzitutto che cos nπ = (−1)^{n}. Studiamo la convergenza assoluta con il criterio della radice. Si ottiene che la serie converge assolutamente se |\frac{1}{x−2} | < 1, quindi per x > 3 e x < 1. Se x = 1 si ottiene la serie armonica, che

diverge, se x = 3 si ottiene ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n} che converge per il criterio di Leibniz.

(iii) ∑_{n=1}^{∞} (ln x + 4)^{n} , x > 0 Di nuovo studiamo la convergenza assoluta con il criterio della radice. Risolvendo la disequazione | ln x + 4| < 1 segue che la serie converge assolutamente per x ∈ (e^{−5}, e^{−3}). Non si ha convergenza semplice negli estremi.

(iv) ∑_{n=1}^{∞} (e^{−x} + \frac{3}{5})^{n} Dal criterio della radice segue che si ha convergenza assoluta se |e^{−x} + \frac{3}{5} | < 1, quindi per x > − ln \frac{2}{5}. Se x = − ln \frac{2}{5} si ottiene ∑_{n=1}^{∞}(1)^{n} che diverge. Quindi non si ha convergenza semplice dove non c’é quella assoluta.

(v) ∑_{n=1}^{∞} (e^{x^{2}−2} − 2)^{n} · \frac{1}{\sqrt{n}} Dal criterio della radice segue che si ha convergenza assoluta se |e^{x^{2}−2} − 2| < 1, da cui si ha x ∈ (−\sqrt{2 + ln 3}, −\sqrt{2}) ∪ x ∈ (\sqrt{2}, \sqrt{2 + ln 3}). Per x = ±\sqrt{2} si ha anche convergenza semplice.

Esercizio 2

In questa serie di esercizi si fa uso del criterio di convergenza di Leinbiz per serie a segni alterni. Le ipotesi da verificare sono: data una serie del tipo ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} con a_{n} ≥ 0, se lim_{n→∞} a_{n} = 0 e se a_{n} é decrescente, allora la serie converge.

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{ln n} a_{n} = \frac{1}{ln n} > 0 é decrescente perché il logaritmo é crescente e tende a zero perché lim_{n→∞} ln n = 0 quindi la serie converge.

(ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nπ}{e^{n}+3n} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{e^{n}+3n}. lim_{n→∞} \frac{1}{e^{n}+3n} = 0, e^{n} + 3n > 0 e \frac{1}{e^{n}+3n} > \frac{1}{e^{n+1}+3(n+1)} cioé é decrescente.

(iii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}−20n+2} Il polinomio n^{2} − 20n + 2 é crescente in n solo da un certo n in poi, peró possiamo comunque usareil criterio di Leibniz perché comunque l’importante é la crescenza per n grande. Infatti

n^{2}−20n+2 < (n+1)^{2}−20(n+1)+2 = n^{2}+2n+1−20n−20+2 ⟺ 2n > 19 ⟺ n > 10.

Quindi possiamo usare il criterio, perche’ si ha decrescenza e ovviamente lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}−20n+2} = 0.

(iv) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(\frac{π}{2} (2n+1))}{n} · ln n Osserviamo che sin (\frac{π}{2} (2n + 1)) = (−1)^{n} quindi, sapendo che lim_{n→∞} \frac{ln n}{n} → 0, verifichiamo la decrescenza:

\frac{ln(n + 1)}{n + 1} < \frac{ln n}{n} ⟺ n ln(n+1) < (n+1) ln n ⟺ ln(n+1)^{n} < ln n^{n+1} ⟺

⟺ (n + 1)^{n} < n^{n+1} ⟺ (\frac{n + 1}{n})^{n} < n

l’ultima affermazione é vera perché (\frac{n+1}{n})^{n} → e.

Esercizio 3

(i) Usare il criterio della radice ennesima. La serie converge per x ≠ 0, x ≠ −\frac{1}{n}. (ii) Confronto asintotico con n^{\frac{3}{2}} , la serie converge per x > 0. (iii) Criterio del rapporto (con i moduli!!), la serie converge per |x| < 1. (iv) \frac{x^{2n}}{n} é una serie geometrica di ragione x^{2} (a parte il denominatore, che ,del resto, non influisce sull’andamento della serie). Converge per x < 1. D’altra parte \frac{n^{2x}}{x}, a parte il denominatore, che é una costante, é una serire armonica generalizzata, converge per 2x < −1, pertanto per x < −\frac{1}{2}. Tutta la serie converge per −1 < x < −\frac{1}{2}.

(v) Criterio della radice ennesima. La serie converge assolutamente per \frac{1}{log x}^{2} < 1 ovvero x ∈ (0, \frac{1}{e}) ∪ (e, +∞). (vi) Confronto asintotico con n^{\frac{4}{3}} , la serie converge per x > 0. (vii) Abbiamo una serie geometrica di ragione

(1 + \frac{1}{n})^{n} (2a + 1),

quindi abbiamo convergenza se |(1 + \frac{1}{n})^{n} (2a + 1)| < 1. Tenendo conto che (1 + \frac{1}{n})^{n} → e crescendo, si ha:

|(1 + \frac{1}{n})^{n} (2a + 1)| < e|2a + 1| < 1 ⟺ −\frac{1}{e} < 2a + 1 < \frac{1}{e} ⟺

⟺ \frac{1}{2} (−1 − \frac{1}{e}) < a < \frac{1}{2} (\frac{1}{e} − 1) .

(viii) Osserviamo che

|\frac{x + sin \frac{x}{n}}{n^{x}} | < \frac{|2x|}{n^{x}},

quindi, sapendo che la serie armonica generalizzata \frac{1}{n^{x}} converge se x > 1, la nostra serie converge assolutamente se x > 1. Converge anche se x = 0.