Soluzioni della simulazione di esonero di am1a 21 dicembre 2004 GIUSTIFICARE TUTTE LE AFFERMAZIONI

Esercizio 1. Trovare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = (1 + (−1)^{n})e^{n}

Per n pari si ottiene la sottosuccessione a_{2n} = 2e^{n} → +∞ per n → +∞, mentre per n dispari si ottiene a_{2n+1} ≡ 0. Quindi, poiché esiste una sottosuccessione che tende a zero, e zero é un minorante (assoluto! a_{n} é sempre positiva!), allora possiamo concludere che 0 é il minimo limite. D’altra parte, la sottosuccessione dei pari tende a +∞, quindi il massimo limite non puó essere altro che +∞. Enunciare la caratterizzazione di massimo e minimo limite. Sia data una successione a_{n}, L é massimo limite di a_{n} se e solo se:

∀ε > 0∃ν : ∀n > ν a_{n} < L + ε
∀ε > 0 per infiniti indici a_{n} ∈ I(L, ε).

l é minimo limite di a_{n} se e solo se:

∀ε > 0∃ν : ∀n > ν a_{n} > l − ε
∀ε > 0 per infiniti indici a_{n} ∈ I(l, ε).

Esercizio 2. Determinare per quali x ∈ IR, x > 0 la seguente serie converge assolutamente

∑_{n=1}^{+∞} \frac{log(n^{2}x^{3})}{n^{2} + x^{2}}

Osserviamo che:

log(n^{2}x^{3}) = log(n^{2}) + log(x^{3}) ≤ 2 log(n^{2}) = 4 log n,

quindi

|\frac{log(n^{2}x^{3})}{n^{2} + x^{2}} | ≤ \frac{4 log n}{n^{2}}.

A questo punto, sapendo che lim_{n→+∞} \frac{log n}{n^{\frac{1}{2}}} → 0, si ha

\frac{4 log n}{n^{2}} ≤ \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{2}} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

La seri armonica ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} converge, quindi per il criterio del confronto la nostra serie converge per ogni x > 0. Criterio del confronto per serie a termini positivi: Siano ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} e ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} due serie a termini positivi. Se, per n ≥ n_{0} si ha a_{n} ≤ b_{n}, allora si ha anche

∑_{n=1}^{+∞} a_{n} ≤ ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} ∀n ≥ n_{0}

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

lim_{n→+∞} \frac{1}{n} arctan(\sqrt{n + 2}) (1 + 2 sin \frac{1}{n})^{n} .

lim_{n→+∞} \frac{1}{n} arctan(\sqrt{n + 2}) (1 + 2 sin \frac{1}{n})^{_{\frac{1}{2 sin \frac{1}{n}}} n2 sin \frac{1}{n}} =

= 0 · \frac{π}{2} · e^{2}

Esercizio 4. Studiare il carattere delle seguenti serie:

∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{n} sin \frac{1}{n},  ∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{n} \frac{log n}{n + 1}

Le serie si studiano con il criterio di Leibniz. La funzione sin x é crescente se 0 < x < \frac{π}{2} . Quindi sin \frac{1}{n} < sin \frac{1}{n−1} e poiché sin \frac{1}{n} > 0, lim_{n→+∞} sin \frac{1}{n} = 0, sono soddisfatte tutte le ipotesi del criterio di Leibniz e la serie converge. La successione \frac{log n}{n+1} tende a zero per n → +∞, ed é sempre positiva. Vogliamo provare che

\frac{log(n + 1)}{n + 2} < \frac{log n}{n + 1}

Si ha:

log(n + 1)^{n+1} < log n^{n+2} ⇔ (il log é crescente) (n + 1)^{n+1} < n^{n+2} ⇔

(\frac{n + 1}{n})^{n+1} < n ⇔ (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 + \frac{1}{n}) < n

ma l’ultima disuguaglianza é vera in quanto

(1 + \frac{1}{n})^{n} → e, (1 + \frac{1}{n}) → 1

e quindi e < n é vero per n > 3. Sono soddisfatte tutte le ipotesi del criterio di Leibniz e la serie converge.

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite:

lim_{n→+∞} \frac{\sqrt{n} log n}{n − cos n} = lim_{n→+∞} \frac{\frac{log n}{\sqrt{n}}}{1 − \frac{cos n}{n}} → \frac{0}{1} = 0.

Enunciare la definizione di limite di successione: l é limite della successione a_{n} se

∀ε > 0 ∃ν > 0 : ∀n ≥ ν |a_{n} − l| < ε.

Enunciare una proprietá delle successioni monotone: le successioni monotone ammettono sempre limite, ovvero non sono mai indeterminate. In particolare le successioni crescenti tendono all’estremo superiore, quelle decrescenti all’estremo inferiore.