Esame scritto di Am1a- soluzioni 17 gennaio 2005

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{x = \frac{n\sqrt{3}}{1 + n}, n ∈ N\}

Includendo lo zero nei naturali il minimo é zero, se decidiamo di partire da 1, allora il minimo sará \frac{\sqrt{3}}{2}. Dimostriamo una delle due affermazioni, ad esempio che 0 é minimo: dato che appartiene all’insieme, dobbiamo solo provare che é un minorante:

\frac{n\sqrt{3}}{1 + n} ≥ 0

é sempre vero poiché n ≥ 0. Osserviamo che la frazione \frac{n}{1+n} é sempre minore di 1, e tende a 1, quindi proviamo che \sqrt{3} é l’estremo superiore: é un maggiorante, infatti

\frac{n\sqrt{3}}{1 + n} < 1 · \sqrt{3}.

E’ il piú piccolo dei maggioranti, infatti

∀ε > 0∃\overline{n} : \sqrt{3} − ε < \frac{\overline{n}\sqrt{3}}{1 + \overline{n}} ⇔ \overline{n} > \frac{\sqrt{3} − ε}{ε}.

Esercizio 2. Dimostrare per induzione la seguente uguaglianza per ogni n ≥ 1

n ; ∑ ; k=1 \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1}

Per n = 1 si ha \frac{1}{2} = 1−\frac{1}{2} = \frac{1}{2}, quindi la base dell’induzione é verificata. Supponiamo l’asserto vero per n e proviamolo per n + 1.

n+1 ; ∑ ; k=1 \frac{1}{k(k + 1)} = n ; ∑ ; k=1 \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} =

qui si applica l’ipotesi induttiva

= 1 − \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = 1 − \frac{1}{n + 2}

cioé la tesi.

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = [sin^{2} (\frac{nπ}{16} ) − 1]^{n}

Se |sin^{2} (\frac{nπ}{16} ) − 1| < 1,

lim_{n→∞} [sin^{2} (\frac{nπ}{16} ) − 1]^{n} = 0

quindi 0 é limite di almeno una sottosuccessione ,ad esempio per n = 4 + 32k sin^{2} (\frac{nπ}{16} ) = \frac{1}{2}. Resta da provare é che qualsiasi numero piú piccolo di 0 é un minorante definitivo, ovvero che ∀ε > 0 a_{n} > 0−ε. Si deve osservare che , su tutte le sottosuccessioni n_{k} che rendono la quantitá tra parentesi strettamente minore di 1, (chiamiamo la quantitá tra parentesi b_{n_{k}}) si ha

(b_{n_{k}})^{n} ≥ −(b_{n_{k}})^{n} > −ε

dato che b_{n_{k}} → 0. Riguardo al massimo limite, osserviamo che per n_{1} = 16k, il seno é identicamente nullo, quindi a_{n_{1}} → 1. Inoltre a_{n} ≤ 1, quindi 1 é massimo limite.

Esercizio 4. Dire per quali x ∈ R la seguente serie converge:

+∞ ; ∑ ; n=1(2^{x} − 3)^{n}

E’ una serie geometrica, converge per |2^{x}−3| < 1, ovvero −1 < 2^{x} − 3 < 1 ⇔ x ∈ (1, 2). Per x = 1, x = 2 la serie diverge.

Esercizio 5. Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente successione ammette limite finito:

x_{n} = \frac{n(−1)^{n}}{n^{a} sin \frac{1}{n^{3}}}

\frac{n(−1)^{n}}{n^{a} sin \frac{1}{n^{3}}} = \frac{n(−1)^{n}}{n^{a−3}} · \frac{1}{n^{3} sin \frac{1}{n^{3}}}

passando a limite, ricordando il limite notevole lim_{n→∞} n sin \frac{1}{n} = 1, si ottiene un limite finito se a − 3 > 1, ovvero a > 4.