Esame scritto di Am1a 7 febbraio 2005

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{x = \frac{1}{1 + n}e^{(−1)^{n}n}, n ∈ N\}

Osserviamo subito che l’insieme non é limitato superiormente, infatti se n é pari

\frac{1}{1 + 2n}e^{2n} → +∞

quindi si puó concludere subito che l’estremo superiore é infinito. Infatti: ∀M > 0∃\overline{x} ∈ A : \overline{x} > M, e basta scegliere \overline{x} = \frac{1}{1+n}e^{n}. Si avrá, considerando che per n abbastanza grande e^{n} > (1 + n)n^{2}

\frac{1}{1 + n}e^{n} > \frac{1}{1 + n} · (1 + n)n^{2} = n^{2} > M ⇔ n > \sqrt{M}.

Per quanto riguarda l’estremo inferiore, gli elementi sono tutti positivi, dimostriamo che 0 é il piú grande dei minoranti:

∀ε > 0∃ \overline{x} ∈ A : \overline{x} < ε

scelgo un elemento con n dispari , quindi

\overline{x} = \frac{1}{(1 + n)e^{n}} < \frac{1}{1 + n} < ε ⇔ n > \frac{1}{ε} − 1.

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

lim_{n→∞} \frac{n + 1}{\sqrt{n}} log (1 + \frac{log n}{n})

Consideriamo che:

\frac{log n}{n} → 0, (1 + \frac{log n}{n})^{\frac{n}{log n}} → e.

Si ha:

\frac{n + 1}{\sqrt{n}} log (1 + \frac{log n}{n}) = \frac{n + 1}{\sqrt{n}} \frac{log n}{n} log (1 + \frac{log n}{n})^{\frac{n}{log n}} =

= \frac{n + 1}{n} \frac{log n}{\sqrt{n}} log (1 + \frac{log n}{n})^{\frac{n}{log n}} =
= 1 · 0 · e = 0.

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = n (\frac{n}{2} − [\frac{n}{2}])

il simbolo [·] indica la funzione parte intera. Se n é dispari, [\frac{2n+1}{2}] = [n + \frac{1}{2}] = n quindi

a_{2n+1} = (2n + 1) (n + \frac{1}{2} − n) = (2n + 1)\frac{1}{2} → +∞

quindi concludiamo subito che il massimo limite é +∞. D’altra parte a_{2n} ≡ 0, quindi , se dimostriamo che 0 é l’estremo inferiore dei minoranti definitivi avremo dimostrato che é il minimo limite.

∀ε > 0 ∃\overline{n} : ∀n > \overline{n} a_{n} > 0 − ε

dimostriamolo:

a_{n} ≥ a_{2n} ≡ 0 > 0 − ε.

Esercizio 4. Dire per quali x ∈ R la seguente serie converge assolutamente:

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{(−1)^{n}}{n^{x} + (−1)^{n}}

Si deve studiare la convergenza della serie

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{|(−1)^{n}|}{|n^{x} + (−1)^{n}|} = +∞ ; ∑ ; n=1 \frac{1}{|n^{x} + (−1)^{n}|}.

Se x < 0 non é verificata la condizione necessaria, quindi consideriamo solo x > 0. Se x > 1 la serie é del tutto assimilabile ad una serie armonica generalizzata del tipo ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{x}} che converge (stiamo prendendo x > 1). Infine, per 0 < x < 1 si ha \frac{1}{n^{x}−1} > \frac{1}{n} che diverge. Quindi la serie data converge assolutamente per x > 1.

Esercizio 5. Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente successione ammette limite (finito o infinito):

x_{n} = sin n^{2} log(1 + n^{a})

Consideriamo che il seno pur essendo limitato, non ha limite all’infinito, oscilla tra i valori −1 e 1, quindi l’unico modo di ottenere l’esistenza del limite in questione é riuscire a far tendere a zero il logaritmo. Cosa possibile se n^{a} → 0, quindi a < 0.