ESERCITAZIONE DI ESONERO DI AM1A 29 ottobre 2004

Esercizio 1. Trovare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{x = \frac{(−1)^{n}}{n} + 2(−1)^{n+1}, n ∈ N\}

Esercizio 2. Dato l’insieme:

B = \{x = 2 + \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , n ∈ N \ \{0\}\} .

Dimostrare che:

∀ε > 0 ∃\overline{x} ∈ B, \overline{x} ≠ 2 : \overline{x} ∈ I(2, ε).

Inoltre dimostrare che esiste un intorno del punto x_{2} = 2 + \frac{1}{4} in cui non cadono punti di B diversi da x_{2}. Suggerimenti: Si deve provare che in un intorno di 2, piccolo a piacere, c’é sempre un punto dell’insieme, oltre a 2 stesso. Per la seconda domanda,si deve trovare un raggio e costruire un intorno del punto dato, in modo che in tale intorno non ci siano altri punti dell’insieme (non altri punti di IR!). Basta trovare sulla retta gli elementi dell’insieme per i primi n, dopodiché l’intorno da trovare si ”vede”!!

Esercizio 3. Dimostrare per induzione che

∑_{h=0}^{n−1}(h + 1)^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} ∀n ∈ N

Esercizio 4. Trovare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

C = \{x = \frac{7 − 2n}{n} + 5, n ∈ N \ \{0\}\} .

Esercizio 5. Dare la definizione di insieme aperto e chiuso. Enunciare la caratterizzazione degli estremi superiore ed inferiore di insiemi. Dare la definizione di: sezione di IR, di elemento separatore ed enunciare l’assioma di Dedekind.