MASSIMO E MINIMO LIMITE DI SUCCESSIONI

Ricordiamo la definizione: data una successione a_{n}, L é massimo limite di a_{n} se é l’estremo inferiore dei maggioranti definitivi. Un maggiorante definitivo per a_{n} é un numero M per cui esiste ν ∈ IR tale che a_{n} < M∀n > ν. Analogamente il minimo limite é l’estremo superiore dei minoranti definitivi, dove un minorante definitivo é un numero m per cui esiste ν ∈ IR tale che a_{n} > m∀n > ν. Dalla definizione si deduce la seguente caratterizzazione: un numero L é massimo limite di una successione a_{n} se verifica entrambe le seguenti proprietá:

∀ε > 0∃ν ∈ IR : a_{n} < L + ε ∀n > ν
∀ε > 0, per infiniti indici a_{n} > L − ε.

Analogamente un numero l é minimo limite di una successione a_{n} se verifica entrambe le seguenti proprietá:

∀ε > 0∃ν ∈ IR : a_{n} > l − ε ∀n > ν
∀ε > 0, per infiniti indici a_{n} < l + ε.

Un metodo per trovare massimo e minimo limite di una successione é il seguente: trovare due sottosuccessioni {a_{n_{k}}}, {a_{n_{h}}}, che tendono a due limiti diversi, l, L, dopodiché, se l é tale che

∀ε > 0∃ν ∈ IR : a_{n} > l − ε ∀n > ν

allora l é minimo limite di a_{n}. Se L é tale che

∀ε > 0∃ν ∈ IR : a_{n} < L + ε ∀n > ν

allora L é massimo limite di a_{n}.

Esercizio 1 Determinare massimo e minimo limite delle seguente successione: a_{n} = [sin n+1] dove [·] = parte intera.

Suggerimento: Sfruttare il fatto, noto, che max lim sin n = +1, min lim sin n = −1, e che esistono sempre due sottosuccessioni che tendono al massimo limite e al minimo limite.

Esercizio 2 Determinare massimo e minimo limite delle seguenti successioni:

(i) a_{n} = \frac{n+1}{n} sin \frac{nπ}{10}

(ii) a_{n} = (−1)^{n} \frac{n+1}{n}

(iii) a_{n} = arctan(−2)^{n}

(iv) a_{n} = (−1)^{n} + sin \frac{1}{n}