IV tutorato di analisi matematica 1a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

21 ottobre 2004

Esercizio 1. Provare che 2 è un minorante e 6 un maggiorante del seguente insieme:

A = \{x ∈ ℝ : x = \frac{5n−1}{2n−1}, n ∈ ℕ\}

Esercizio 2. Dato A = \{x ∈ ℝ : x = \frac{2n−1}{n}, n ∈ ℕ\} trovare estremo superiore ed estremo inferiore di A motivando le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.

Esercizio 3. Trovare, qualora esistano, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e dire se sono rispettivamente un massimo e un minimo per lo stesso insieme. Motivare le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{2n−1}{n}, n ∈ ℕ\}

b) E = \{x ∈ [\frac{1}{2}, \frac{2}{3}] : x = \frac{m}{2^{n}} , n, m ∈ ℕ\}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{3n−2}{2n}, n ∈ ℕ\}

d) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{(−1)^{n}}{n} , n ∈ ℕ\}

Esercizio 4. Dato l’insieme A = \{a_{n} ∈ ℝ : a_{n} = (−1)^{n} \frac{n}{n+3}, n ∈ ℕ\} determinare, sup A, inf A.

Esercizio 5. Dimostrare che dati due insiemi qualunque ∅ ≠ X, Y, Y ⊆ X ⊆ ℝ, si ha

inf X ≤ inf Y ≤ sup Y ≤ sup X.

Esercizio 6. Dimostrare che dati due insiemi qualunque ∅ ≠ X, Y, se X + Y := {x + y, x ∈ X, y ∈ Y }, si ha:

sup(X + Y) = sup X + sup Y

Esercizio 7. Sia X ∈ ℝ, X ≠ ∅ e sia tX := {tx : x ∈ X, t ∈ ℝ^{+}}, allora si ha

sup(tX) = t sup X

Esercizio 8. Dimostrare che un insieme X ∈ ℝ e’ limitato ⟺ esiste un numero reale M > 0 tale che |x| < M, ∀x ∈ X.