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Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore dell’insieme

A = \{x = \frac{cos nπ}{n^{2}} + log \frac{1}{n}, n ∈ N \ \{0\}\}

giustificare le risposte in modo rigoroso.

Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004

Esercizio 2. Calcolare estremo superiore ed inferiore dell’insieme

A = \{x = \frac{3}{log n}, n ∈ N \ \{0, 1\}\}

giustificare le risposte in modo rigoroso.

Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004

Esercizio 3. Dato l’insieme

B = \{x = \frac{n^{2}}{n^{3} + 1}, n ∈ N\}

dimostrare che ∀ε > 0 ∃x ∈ B tale che x ∈ I(0, ε). Dimostrare inoltre che esiste un intorno di I(\frac{16}{65}, r) in cui non cadono punti di B diversi da \frac{16}{65}.

Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004

Esercizio 4. Dimostrare per induzione che:

3^{n+1} ≥ (n + 1)^{2} + 1 ∀n ∈ N Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004

Esercizio 5. Enunciare gli assiomi di Peano. Dare la definizione di minorante e maggiorante di un insieme di numeri reali. Dare la definizione di relazione di equivalenza, fare un esempio. Enunciare la proprietá di Archimede.