Primo esonero di Am1a 2 novembre 2004 Soluzioni

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore dell’insieme

A = \{x = \frac{cos nπ}{n^{2}} + log \frac{1}{n}, n ∈ N \ \{0\}\}

giustificare le risposte in modo rigoroso. Riscriviamo l’insieme come

A = \{x = \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} − log n, n ∈ N \ \{0\}\}

Osserviamo che A non e’ limitato inferiormente, infatti ∀M > 0∃x ∈ A : x < −|M|. Infatti

\frac{(−1)^{n}}{n^{2}} − log n < 1 − log n < −|M| ⇔ n > e^{1+|M|}

quindi l’estremo inferiore e’ −∞. Riguardo l’estremo superiore, lo cerchiamo tra gli elementi dell’insieme che otteniamo per i primi n, visto che per n grande x diventa sempre piu’ negativo. Un maggiorante, che appartiene anche all’insieme e’ \frac{1}{4} − log 2. Lo si ottiene per n = 2 ed e’ maggiorante perche’:

\frac{(−1)^{n}}{n^{2}} − log n < \frac{1}{n^{2}} − log n < \frac{1}{4} − log n < \frac{1}{4} − log 2.

Esercizio 2.

Calcolare estremo superiore ed inferiore dell’insieme

A = \{x = \frac{3}{log n}, n ∈ N \ \{0, 1\}\}

giustificare le risposte in modo rigoroso. L’insieme e’ composto da numeri POSITIVI, quindi 0 e’ un minorante. Proviamo che e’ l’inf dell’insieme:

∀ε > 0∃x ∈ A : x < ε,

ovvero

∀ε > 0, \frac{3}{log n} < ε ⇔ n > e^{\frac{3}{ε}}.

Inoltre \frac{3}{log 2} appartiene all’insieme ed e’ un maggiorante, infatti

\frac{3}{log n} ≤ \frac{3}{log 2} ⇔ log n > log 2

il che e’ vero perche’ n ≥ 2.

Esercizio 3. Dato l’insieme

B = \{x = \frac{n^{2}}{n^{3} + 1}, n ∈ N\}

dimostrare che ∀ε > 0 ∃x ∈ B tale che x ∈ I(0, ε). Dimostrare inoltre che esiste un intorno di I(\frac{16}{65}, r) in cui non cadono punti di B diversi da \frac{16}{65}. Si deve provare che ∀ε > 0 \frac{n^{2}}{n^{3}+1} < ε (la frazione e’ SEM-PRE positiva!). Osserviamo che \frac{n^{2}}{n^{3}+1} < \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n}, quindi

\frac{n^{2}}{n^{3} + 1} < \frac{1}{n} < ε ⇔ n > \frac{1}{ε}.

Per rispondere alla seconda domanda osserviamo che i punti dell’insieme che si trovano a destra e a sinistra di \frac{16}{65} sono \frac{9}{28} e \frac{25}{126}, quindi con un raggio

r < min \{|\frac{16}{65} − \frac{9}{28}| , |\frac{16}{65} − \frac{25}{126}|\}

si ottiene l’intorno desiderato.

Esercizio 4. Dimostrare per induzione che:

3^{n+1} ≥ (n + 1)^{2} + 1 ∀n ∈ N

Per n = 0 la proposizione e’ vera: 3 ≥ 2. Diamo per buona P_{n} e verifichiamo P_{n+1}, ovvero

3^{n+2} ≥ (n + 2)^{2} + 1.

Procediamo come al solito usando l’ipotesi induttiva:

3^{n+2} = 3^{n+1}3 ≥ 3((n + 1)^{2} + 1) = 3n^{2} + 6n + 6

ora proviamo che l’ultima espressione e’ maggiore di (n+ 2)^{2} + 1

3n^{2} + 6n + 6 ≥ (n + 2)^{2} + 1 = n^{2} + 4n + 5vero ∀n ∈ N

Esercizio 5. Enunciare gli assiomi di Peano. Dare la definizione di minorante e maggiorante di un insieme di numeri reali. Dare la definizione di relazione di equivalenza, fare un esempio. Enunciare la proprietá di Archimede.