VIII tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

28 novembre 2005

Esercizio 1. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→∞} (1 + \frac{7}{n})^{2n}
b) lim_{n→∞} (\frac{n^{3}−2}{n+2} + \frac{n^{3}−2n^{2}}{n+1} )
c) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n!})^{n^{n}}
d) lim_{n→∞} ( \sqrt[n]{2} − 1)^{n}
e) lim_{n→∞} sin (2π\sqrt{n^{2} + \sqrt{n}})

Esercizio 2. Trovare, se esiste, il limite delle seguenti successioni:

a) a_{n} = 1 + sin n

b) a_{n} = arctan (−\frac{1}{2})^{n}

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} · \frac{1+(−1)^{n}}{2}

d) a_{n} = \frac{n!}{2^{n}} sin n\frac{π}{2}

e) a_{n} = \sqrt[n]{(−1)^{n}n} Esercizio 3. Dimostrare che, se a_{n} > 0 ∀n ∈ ℕ, b_{n} = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} e b_{n} → b > 1 allora a_{n} → ∞. Esercizio 4. Trovare il massimo e il minimo limite delle seguenti successioni:

a) a_{n} = 1 − cos n

b) a_{n} = arctan (−2)^{n}

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} + \frac{1+(−1)^{n}}{2}

d) a_{n} = \frac{n!}{2^{n}} sin n\frac{π}{2}

e) a_{n} = \sqrt[n]{(−1)^{n}n} f) a_{n} = \sqrt{n^{2} − 1} − n

g) a_{n} = 1 + (−1)^{n}

h) a_{n} = \frac{n+1}{n} sin \frac{nπ}{10}

i) a_{n} = sin^{2} (\frac{n^{2}}{2n+1}) + cos^{2} (\frac{n^{3}+6n}{(n+2)^{2}} )