VII tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

21 novembre 2005

Esercizio 1. Trovare i seguenti limiti e verificarne l’esattezza attraveso la definizione:

a) lim_{n→+∞} (−\frac{2}{3})^{n+2}
b) lim_{n→+∞} \frac{3n^{2}−n}{2n^{2}+4}
c) lim_{n→+∞} log_{2} (\frac{1}{n})
d) lim_{n→+∞} tan \frac{1}{n}
e) lim_{n→+∞} 2^{n}

Esercizio 2. Dimostrare che, se a_{n} converge ad a e a_{n} ≥ 0 ∀n ∈ ℕ, allora lim_{n→∞} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}.

Esercizio 3. Calcolare i limiti (a, c > 0):

a) lim_{n→+∞} \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}
b) lim_{n→+∞} \sqrt{2n} − \sqrt{n − 1}
c) lim_{n→+∞} \sqrt{n^{2} − n} − \sqrt{n^{2} + 1}
d) lim_{n→+∞} \sqrt{a + b} − \sqrt{cn + d}

Esercizio 4. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→+∞} \sqrt[2n]{n^{5}}
b) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n^{log n}}
c) lim_{n→+∞} \frac{6n^{2}+2n}{3n^{2}+2 \sqrt[3]{n^{5}}}
d) lim_{n→+∞} [\frac{6n^{2}+2n}{3n^{2}+2 \sqrt[3]{n^{5}}} ]
e) lim_{n→+∞} \frac{log_{4} 3^{^{log}5 ^{7n}}}{2n}

f) lim_{n→+∞} n sin \frac{2}{n} cos \frac{2}{n}
g) lim_{n→+∞} n^{2}(1 − cos \frac{1}{n})
h) lim_{n→+∞} \frac{n(1−cos \frac{1}{n})}{sin \frac{1}{n}}
i) lim_{n→+∞} \frac{n^{2}+1}{n+1} sin \frac{1}{n}