VI tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

14 novembre 2005

Esercizio 1. Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

a) lim_{n→+∞} \frac{n−1}{n} = 1

b) lim_{n→+∞} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}

c) lim_{n→+∞} \frac{cos n}{n} = 0

d) lim_{n→+∞} sin \frac{1}{n} = 0

e) lim_{n→+∞} log (1 + \frac{1}{n}) = 0 Esercizio 2. Dimostrare che, se a_{n} converge ad a e b_{n} converge a b, allora a_{n} − b_{n} converge ad a − b. Esercizio 3. Calcolare i limiti (a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0):

a) lim_{n→+∞} \frac{an+b}{cn+d}
b) lim_{n→+∞} \frac{an^{2}+b}{cn+d}
c) lim_{n→+∞} \frac{an+b}{cn^{2}+d}
d) lim_{n→+∞} \frac{an^{2}+b}{cn^{2}+d}

Esercizio 4. Provare che se a_{n} → a ∈ ℝ, con a > 0 e se b_{n} → +∞, allora la successione prodotto a_{n} · b_{n} diverge a +∞. Esercizio 5. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→+∞} \frac{\sqrt{n^{3}+9n^{2}}−\sqrt{n^{4}+1}}{n^{2}+2}
b) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n^{4} + 1}
c) lim_{n→+∞} \frac{n^{2}}{n!}
d) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}}

e) lim_{n→+∞} \frac{n!}{n^{n}}

Esercizio 6. Data la successione {a_{n}} definita:

\begin{cases}a_{0} = 3 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + 1 \end{cases} n ∈ ℕ

ricavare a_{n} in funzione di n. Stabilire se la successione è crescente o decrescente e se essa è limitata superiormente o inferiormente. Calcolare, se esiste, lim_{n→+∞} a_{n}.