V tutorato di Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

24 ottobre 2005

Esercizio 1. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e motivare la risposta:

Sia E un insieme non vuoto di numeri reali.

a) L’estremo superiore di E è sempre punto di accumulazione per E.

b) Se c è un punto di accumulazione per E, dato un arbitrario ϵ > 0, l’intervallo (c − ϵ, c + ϵ) deve contenere infiniti punti di E.

c) L’intervallo [a, +∞) risulta chiuso in ℝ, mentre l’insieme [a, b) non è nè aperto nè chiuso.

Esercizio 2. Si consideri in ℝ l’insieme C = A ∪ B, dove

A = \{x ∈ ℝ : −2 < x ≤ 3\} e B = \{x ∈ ℝ : x = −2 + log (1 + \frac{1}{n})^{−1}, n ∈ ℕ_{0}}. Determinare:

a) l’insieme dei punti di accumulazione di C.

b) l’insieme dei punti isolati di C.

c) l’insieme dei punti interni di C.

Esercizio 3. Dati i seguenti insiemi trovere tutti i punti di accumulazione, estremo inferiore, estremo superiore e qualora esistano massimo e minimo motivando ogni risposta con la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ ℝ : x = (−1)^{n} \frac{n}{n+4}, n ∈ ℕ\}

b) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{1}{n} + log 1/n, n ∈ ℕ_{0}\}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{cos nπ}{n^{2}+16}, n ∈ ℕ\}

d) E = \{x ∈ ℝ : x = n + log \frac{1}{n^{2}} , n ∈ ℕ_{0}\}

Esercizio 4. Trovare, qualora esistano, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e dire se sono rispettivamente un massimo e un minimo per lo stesso insieme. Motivare le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione. a) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{t+1}{t−2}, t ∈ ℝ\}

b) E = \{x ∈ ℝ : x = sin \frac{nπ}{8} , n ∈ ℤ\}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{n^{2}}{n+3}, n ∈ ℕ\}

d) E = {x ∈ ℝ : x = −n^{2} + 22n + 10, n ∈ ℕ}

d) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{n−\sqrt{n}}{n+1}, n ∈ ℕ\} Esercizio 5. Dimostrare che:

se A è limitato superiormente, tale che l = supA ∉ A allora ∀ϵ > 0 ∃ I(l, ϵ) : I(l, ϵ) ∩ A ≠ ∅.

Esercizio 6. Si consideri in ℝ l’insieme A = {x ∈ ℝ : 0 ≤ x < 2}, dimostrare che:

a) ∀ϵ > 0, ∃ I(x, ϵ) : I(x, ϵ) ∩ A ≠ ∅.

b) ∀ϵ > 0, ∃ I(0, ϵ) e ∃I(2, ϵ) che contengono punti di A e di C(A). e trovare l’insieme dei punti interni A.

Esercizio 7. Si consideri in ℝ l’insieme B = \{x ∈ ℝ : x = 2 + \frac{1}{n}, n ∈ ℕ_{0}\}, dimostrare che:

a) ∀ϵ > 0, ∃ \overline{x} ∈ B : \overline{x} ∈ I(2, ϵ).

b) ∃r > 0 : I(2 + \frac{1}{4}, r) ∩ A ≠ ∅.

c) ∀r > 0, ∃I(2, r) : I(2, r) ∩ B ≠ ∅ ∧ I(2, r) ∩ C(B) ≠ ∅.

e trovare l’insieme dei punti interni di B.