IV tutorato di Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

17 ottobre 2005

Esercizio 1. Verificare quale tra le seguenti è una distanza in ℝ:

a) d(x, y) = \sqrt{|x − y|}

b) d(x, y) = |x^{2} − y^{2}|

c) d(x, y) = |x − y|^{2}

d) d(x, y) = |\sqrt{|x|} − \sqrt{|y|}|

e) d(x, y) = \begin{cases}1 & se x ≠ y \\ 0 & se x = y \end{cases}

Esercizio 2. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e motivare la risposta:

Sia E un insieme non vuoto di numeri reali.

a) l è estremo inferiore per E se l è un minorante di E ed è tale che ∀x ∈ E, ∃ ϵ > 0 per cui risulta x < l + ϵ

e) L’intervallo [ a, +∞) risulta chiuso in ℝ, mentre l’insieme [ a, b) non è nè aperto nè chiuso.

Esercizio 3. Trovare, qualora esistano, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e dire se sono rispettivamente un massimo e un minimo per lo stesso insieme. Motivare le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ [ \frac{1}{2}, \frac{2}{3} ] : x = \frac{m}{2^{n}} , n, m ∈ ℕ\}

b) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{3n−2}{2n}, n ∈ ℕ\}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{(−1)^{n}}{n} , n ∈ ℕ\}

Esercizio 4. Dimostrare che ogni insieme A, chiuso e limitato, ha Massimo e Minimo.

Esercizio 5. Dato l’insieme A = \{a_{n} ∈ ℝ : a_{n} = (−1)^{n} \frac{n}{n+3}, n ∈ ℕ\} determinare, sup A, inf A.

Esercizio 6. Dimostrare che dati due insiemi qualunque X, Y ≠ ∅, Y ⊆ X ⊆ ℝ, si ha

inf X ≤ inf Y ≤ sup Y ≤ sup X.

Esercizio 7. Dimostrare che dati due insiemi qualunque X, Y ≠ ∅, se X + Y := {x + y, x ∈ X, y ∈ Y }, si ha:

sup(X + Y) = sup X + sup Y

Esercizio 8. Sia X ∈ ℝ, X ≠ ∅ e sia tX := {tx : x ∈ X, t ∈ ℝ^{+}}, allora si ha

sup(tX) = t sup X

Esercizio 9. Dimostrare che un insieme X ∈ ℝ e’ limitato ⟺ esiste un numero reale M > 0 tale che |x| < M, ∀x ∈ X.