III tutorato di Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

10 ottobre 2005

Esercizio 1. Stabilire se le seguenti relazioni nell’insieme X sono riflessive, simmetriche, antisimmetriche, transitive.

a) X = ℕ, a ∼ b ⇔ b = a + 1

b) X = 𝒫(ℤ), A ∼ B ⇔ A ∩ B = ∅

c) X = ℝ, x ∼ y ⇔ xy > 0

d) X = ℝ, a ∼ b ⇔ xy ≥ 0

e) X = ℝ^{∗}, a ∼ b ⇔ xy > 0

f) X = ℕ × ℕ, (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + b ≤ c + d

g) X = {f : ℤ ⟶ ℤ| f funzione}, f ∼ g ⇔ g ∘ f = id_{ℤ}

h) X = {f : ℕ ⟶ ℤ| f funzione}, f ∼ g ⇔ f(1) = g(1) Esercizio 2. Si provi che le condizioni che definiscono una relazione di equivalenza sono indipendenti dando:

1. un esempio di relazione riflessiva e simmetrica, ma non transitiva

2. un esempio di relazione riflessiva e transitiva, ma non simmetrica

3. un esempio di relazione simmetrica e transitiva , ma non riflessiva Esercizio 3. Dire, verificandone le proprietà, quali delle seguenti sono relazioni di equivalenza in ℝ:

a) x ≤ y b) x + y è intero

c) |x| = |y| d) x(1 − y^{2}) = y(1 − x^{2}) Esercizio 4. Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza e per ogni a ∈ ℝ trovare la classe di a, [a]:

a) x = y b) x^{2} + y^{2} ≥ 6 c) x^{2} + y^{2} ≥ 0

d) |x − y| ≤ 12 e) cos x = cos y e) | sin y| = \frac{1}{|x|+1} Esercizio 5. Dire quale tra le seguenti è una partizione giustificando la risposta:

a) il parallelismo tra rette in un piano

b) sia a ∈ ℝ, |x| ≥ a x ∈ [−a, a]

c) in ℕ: {i numeri primi} {i numeri pari} \ {2}

d) in ℝ {2}, {x > 2}, {[−3, 2)}, {x < −3}

Esercizio 6. Tramite il principio di induzione dimostrare che:

dati x, y ∈ ℝ tali che 0 < x < y,

x^{n} < y^{n} ∀n ∈ ℕ

Esercizio 7. Trovare estremo superiore ed estremo inferiore dei seguenti insiemi:

1. (a, b]

2. (−∞, a] ∪ (b, c), a < b

3. ⋃_{n∈ℕ}(a − 1/n, b − 1/n), b − a > 2

Esercizio 8. Provare che 2 è un minorante e 6 un maggiorante del seguente insieme:

A = \{x ∈ ℝ : x = \frac{5n−1}{2n−1}, n ∈ ℕ\}

Esercizio 9. Dato A = \{x ∈ ℝ : x = \frac{2n−1}{n}, n ∈ ℕ\} trovare estremo superiore ed estremo inferiore di A motivando le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.