Tutorato pre-esonero Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

31 ottobre 2005

Esercizio 1. Dato il seguente insieme:

A = \{\frac{(−1)^{n}}{n} + 3(−1)^{n+1}; n ∈ ℕ\}

trovare gli eventuali punti di accumulazione e dimostrare che −(\frac{11}{12} + 2) è un punto isolato

Esercizio 2. Dato il seguente insieme:

A = \{(n + 1)^{α} + (\frac{1}{n + 1})^{β}; n ∈ ℕ, α, β ∈ ℝ\}

calcolare estremo superiore ed inferiore al variare di α e β.

Esercizio 3. Calcolare estremo superiore e inferiore dell’insieme

A = \{x = \frac{1 + cos nπ}{n^{2}} + \frac{4}{log 2n}; n ∈ ℕ^{0}\}

giustificando le risposte in modo \underline{rigoroso}!

Esercizio 4. Tramite il principio di induzione dimostrare che ∀n ∈ ℕ, se A ha n elementi, il suo insieme delle parti 𝒫(A) ha 2^{n} elementi.

Esercizio 5. Dire se la seguente affermazione è vera o falsa: ogni insieme numerabile ha un numero finito di punti di accumulazione.

Dimostrare in caso affermativo, illustrare un controesempio in caso negativo.