1. ESERCIZI SU ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI INSIEMI

Esercizio 1.

Determinare estremo superiore ed inferiore (eventualmente massimo e minimo) dei seguenti insiemi:

(A): = \{x = n − \frac{1}{n} , n ∈ IN\}
(B): = \{x = (−1)^{n}n + \frac{1}{n}, n ∈ IN\}
(C): = \{x = \frac{n − 3}{n^{2}}, n ∈ IN\} ∪ (−1, 1)
(D): = {x = n^{2} + 3n − 1, n ∈ IN}
(E): = {x ∈ IR: x^{2} ≤ 2}
(F): = {x ∈ Q: x^{2} ≤ 2}
(G): = {x^{3}: x ∈ Z}
(H): = \{x = sin\frac{nπ}{8} , n ∈ IN\}
(I): = \{x = \frac{t + 1}{t − 2}, t ∈ IR, t > 2\}
(L): = {|x| : x^{2} + x < 2, x ∈ IR}

Suggerimento · Verificare se l’insieme in questione, detto Γ, é limitato. · Detti x_{1} ed x_{2} rispettivamente gli eventuali minorante e maggiorante di Γ, verificare se appartengono ad Γ, in caso affermativo si e’ trovato il massimo e/o il minimo e l’esercizio e’ terminato. · Verificare, ove necessario, che x_{1} = infΓ mostrando che é il piú grande dei minoranti di Γ, ovvero che

∀ε > 0, ∃x ∈ Γ: x_{1} + ε > x

e x_{2} = supΓ mostrando che é il piú piccolo dei maggioranti di Γ, ovvero che

∀ε > 0, ∃x ∈ Γ: x_{2} − ε < x.

Esercizio 2. Dato l’insieme:

B = \{x = \frac{1}{n^{α}} , α ∈ (1, +∞) n ∈ N\}

determinarne estremo superiore ed inferiore. Cosa cambia se 0 < α < 1?

Esercizio 3 Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{\frac{|x − 3|}{|x + 2|} ≤ 1, x ∈ IR, x ≠ −2\}

Specificare se i valori trovati sono massimo e minimo.

Esercizio 4 Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

C = \{x = \frac{n^{2} − 1}{3n^{2}} + \frac{2}{3}, n ∈ IN \\{0\}\}

Esercizio 5 Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

D = \{x = \frac{3n − | sin n|}{n}, n ∈ IN \\{0\}\}