Soluzioni del IX tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

5 dicembre 2005

Esercizio 1. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→∞} (1 + \frac{sin n}{n})^{n^{2}} Sol: e

b) lim_{n→∞} (\frac{n^{2}+3}{n^{2}+1})^{n^{3}} Sol: +∞

c) lim_{n→∞} (n^{2} + 2n) sin (\frac{1}{3n^{2}+7}) Sol: 1/3

d) lim_{n→∞} \sqrt[n]{log [(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}})^{^{\sqrt{n}}^{n}}]} Sol: +∞

e) lim_{n→∞} ^{\frac{ln [( \frac{n+2}{n^{2}} )e^{n−1}]}{2n}} Sol: 1/2 Esercizio 2. Utilizzando il criterio del rapporto, stabilire il carattere delle seguenti serie:

a) ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}n Sol: divergente (ricordate sempre di verificare la condizione necessaria... in questo caso a_{n} non converge a 0!)

b) ∑_{n=1}^{∞} n2^{−n} Sol: convergente

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}+1}{4^{n}} Sol: convergente

d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} Sol: convergente Esercizio 3. Utilizzando il criterio della radice, stabilire il carattere delle seguenti serie:

a) ∑_{n=0}^{∞} n^{−n} Sol: convergente

b) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n+1}{2n+1})^{n} Sol: convergente

c) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+3n1})^{n} Sol: divergente d) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{log n}{n})^{n} Sol: convergente Esercizio 4. Dire se le seguenti serie convergono:

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{cos πn}{n+2} Sol: convergente per Leibniz

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{1}{n+1} Sol: convergente (come \frac{1}{n^{2}} )

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} Sol: convergente

d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n+1}{n!} Sol: convergente Esercizio 5. Dire per quali x le seguenti serie sono convergenti:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} Sol: ∀x : |x| ≠ 1

b) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1+x}{1+nx})^{n} Sol: x ≠ 0