IV tutorato di Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

17 ottobre 2005

Esercizio 1. Verificare quale tra le seguenti è una distanza in ℝ:

a) d(x, y) = \sqrt{|x − y|}

La distanza è una funzione da ℝ a ℝ^{2} che verifica le seguenti proprietà:

• d(x, y) ≥ 0 ∧ d(x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ ℝ -In questo primo caso che la distanza sia ≥ 0 è ovvio perchè la radice è definita positiva. \sqrt{|x − y|} sarà uguale a 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x = y. OK! La prima propietà è verificata!!!

• d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ ℝ -Per la seconda proprietà sfruttiamo quello che conosciamo sui moduli: d(x, y) = \sqrt{|x − y|} = \sqrt{| − (x − y)|} = \sqrt{|y − x|} = d(y, x). OK!

• (disuguaglianza triangolare) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(x, z)∀x, y, z ∈ ℝ -Devo verificare se \sqrt{|x − y|} ≤ \sqrt{|x − z|} + \sqrt{|z − y|} ⇒ facendo i quadrati ottengo |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| + 2\sqrt{|x − z|}\sqrt{|z − y|}. Se verifico la disuguaglianza che ho appena ottenuto ho finito... Poichè |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y| ≤ |x − z| + |z − y| + 2\sqrt{|x − y|}\sqrt{|y − z|}. OK!!

Questa è una distanza!!

b) d(x, y) = |x^{2} − y^{2}| Non vale la prima propietà, non è una distanza!

N.B. Perchè sia una distanza la funzione deve verificare tutte le proprietà quindi appena una non è verificata potete concludere senza verificare le altre...

c) d(x, y) = |x − y|^{2} Non vale la disuguaglianza triangolare, non è una distanza.

d) d(x, y) = |\sqrt{|x|} − \sqrt{|y|}| Non vale la prima proprietà, non è una distanza.

e) d(x, y) = \begin{cases}1 & se x ≠ y \\ 0 & se x = y \end{cases} È una distanza!

Esercizio 2. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e motivare la risposta:

Sia E un insieme non vuoto di numeri reali.

a) l è estremo inferiore per E se l è un minorante di E ed è tale che ∀x ∈ E, ∃ ϵ > 0 per cui risulta x < l + ϵ

b) L’intervallo [ a, +∞) risulta chiuso in ℝ, mentre l’insieme [ a, b) non è nè aperto nè chiuso.

Soluzione 1. a) L’affermazione è falsa. Facciamo un controesempio:

sia il nostro insieme di partenza (0, 1) il cui estremo inferione è ovviamente 0; condideriamo l = −1. l è un minorante per l’insieme e per ogni x ∈ (0, 1), scegliendo ϵ = 3, ottengo che l + ϵ > x pur non essendo −1 un estremo inferiore.

b) Consideriamo il secondo insieme. Utilizziamo la definizione con i punti di accumulazione (un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione). Ovviamente b è di accumulazione e non è contenuto nell’insieme quindi l’insieme non è chiuso. Per vedere se è aperto, verifichiamo se il complementare è chiso. Il complementare è (−∞, a) ∪ [b, ∞), dove a è punto di accumulazione ma non è contenuto nell’insieme, quindi [a, b) non è neanche aperto!

Esercizio 3. Trovare, qualora esistano, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e dire se sono rispettivamente un massimo e un minimo per lo stesso insieme. Motivare le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ [ \frac{1}{2}, \frac{2}{3} ] : x = \frac{m}{2^{n}} , n, m ∈ ℕ\}

Sol: min=inf=\frac{1}{2}, max=sup=\frac{2}{3}

b) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{3n−2}{2n}, n ∈ ℕ\}

Sol: min=inf=\frac{1}{2}, sup=\frac{3}{2}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{(−1)^{n}}{n} , n ∈ ℕ\}

Sol: min=inf=−1, max=sup=\frac{1}{2}

Esercizio 4. Dimostrare che ogni insieme A, chiuso e limitato, ha Massimo e Minimo.

Esercizio 5. Dato l’insieme A = \{a_{n} ∈ ℝ : a_{n} = (−1)^{n} \frac{n}{n+3}, n ∈ ℕ\} determinare, sup A, inf A.

Esercizio 6. Dimostrare che dati due insiemi qualunque X, Y ≠ ∅, Y ⊆ X ⊆ ℝ, si ha

inf X ≤ inf Y ≤ sup Y ≤ sup X.

Esercizio 7. Dimostrare che dati due insiemi qualunque X, Y ≠ ∅, se X + Y := {x + y, x ∈ X, y ∈ Y }, si ha:

sup(X + Y) = sup X + sup Y

soluzione: Per ogni y ∈ Y y ≤ sup Y e y ≥ inf Y, pertanto da inf Y ≤ y ≤ sup Y segue che inf Y ≤ sup Y. D’altra parte, poichè Y ⊆ X, sup X è un maggiorante per Y, quindi sup X ≥ y ∀y ∈ Y, e allora sup X ≥ sup Y dato che sup Y è il più piccolo dei maggioranti. Analogamente si dimostra che inf X ≤ inf Y.

Esercizio 8. Sia X ∈ ℝ, X ≠ ∅ e sia tX := {tx : x ∈ X, t ∈ ℝ^{+}}, allora si ha

sup(tX) = t sup X

Esercizio 9. Dimostrare che un insieme X ∈ ℝ e’ limitato ⟺ esiste un numero reale M > 0 tale che |x| < M, ∀x ∈ X.