1. SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI

INSIEMI

Esercizio 1.

(A): \{x = n − \frac{1}{n}, n ∈ IN\} L’ insieme é limitato inferiormente essendo composto da elementi non negativi. Quindi 0 é un minorante. Inoltre 0 ∈ A, quindi min A = 0. L’ insieme non é peró limitato superiormente, come si puó facilmente verificare: ∀M > 0 arbitrariamente grande ∃\overline{x} ∈ A: \overline{x} > M. Quindi sup A = +∞.

(B): \{x = (−1)^{n}n + \frac{1}{n}, n ∈ IN\} L’insieme non é limitato né inferiormente né superiormente, poiché il termine (−1)^{n}n diverge a +∞ se n é pari e a −∞ se n é dispari.

(C): \{x = \frac{n−3}{n^{2}}, n ∈ IN\} ∪ (−1, 1) L’ insieme é limitato inferiormente da −2, che é anche un minimo (lo si ottiene per n = 1). La frazione \frac{n−3}{n^{2}} ha un andamento decrescente da n = 4 in poi e si avvicina sempre di piú a zero. A questo punto si deve considerare l’ unione con l’ intervallo (−1, 1), per cui sup C = 1.

(D): {x = n^{2} + 3n − 1, n ∈ IN} Il polinomio n^{2} + 3n − 1 é crescente per n ≥ 1, quindi il valore piú piccolo lo si ottiene per n = 1, quindi l’ insieme é limitato inferiormente e min D = 3. Non é limitato superiormente: basta verificare che ∀M arbitrariamente grande esiste \overline{n} tale che \overline{n}^{2} + 3\overline{n} − 1 > M.

(E): {x ∈ IR: x^{2} ≤ 2} Si ha x^{2} ≤ 2 ⇔ −\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}, per cui min E = −\sqrt{2}, max E = \sqrt{2}.

(F): {x ∈ Q: x^{2} ≤ 2} Analogamente all’ esercizio precedente si verifica che F é limitato, ma non ammette né minimo né massimo dato che \sqrt{2} ∉ Q, quindi inf F = −\sqrt{2}, sup F = \sqrt{2}.

(G): {x^{3}: x ∈ Z} L’ insieme non é limitato, inf G = −∞, sup G = +∞.

(H): \{x = sin\frac{nπ}{8} , n ∈ IN\} L’ insieme é sicuramente limitato, dato che la funzione sin x assume valori compresi tra −1 e +1. Cerchiamo due valori n_{1} e n_{2} per cui si abbia sin \frac{n_{1}π}{8} = −1 e sin \frac{n_{2}π}{8} = +1. Quindi risolviamo

\frac{n_{1}π}{8} = \frac{π}{2} + 2kπ ⇔ n_{1} = 4 + 16k

\frac{n_{2}π}{8} = \frac{3π}{2} + 2kπ ⇔ n_{2} = 12 + 16k.

Deduciamo che min H = −1, max H = +1.

(I): \{x = \frac{t+1}{t−2}, t ∈ IR t > 2\} Si deduce immediatamente che \frac{t+1}{t−2} > 1 ∀t > 2. Quindi l’ insieme é limitato inferiormente. Inoltre 1 = inf I, infatti comunque scelto ε > 0, esisterá t_{1} tale che 1 + ε > \frac{t_{1}+1}{t_{1}−2}. Quest’ ultima relazione é verificata per t_{1} > \frac{3−2ε}{ε}. Non si ha invece limitatezza superiore: ∀M ∈ IR arbitrariamente grande esiste t_{2} tale che

\frac{t_{2} + 1}{t_{2} − 2} > M ⇒ t_{2} + 1 > t_{2}M − 2M ⇒ t_{2}(M − 1) < 1 + 2M ⇒ t_{2} < \frac{1 + 2M}{M − 1} .

Verifichiamo che t_{2} > 2: \frac{1+2M}{M−1} > 2 ⇔ 1 + 2M > 2M − 2, sempre verificato.

(L): {|x| : x^{2} + x < 2, x ∈ IR} Risolviamo l’ equazione x^{2} +x−2 < 0, che é verificata per −2 < x < 1. Dovendo prendere in considerazione i moduli, valutiamo i valori assoluti degli x ∈ (−2, 1). Otteniamo 0 < |x| < 2, quindi l’ insieme L é limitato sia inferiormente che superiormente, min L = 0, sup L = 2. Osserviamo che 2 non é un massimo.

Esercizio 2.

Osserviamo che \frac{1}{n^{α}} > 0 ∀α ∈ (0, +∞), n ≥ 1. Quindi 0 é un minorante per l’insieme. Inoltre 0 é proprio l’inf dell’insieme, infatti:

∀ε > 0 ∃\overline{n}: \frac{1}{n^{α}} < 0 + ε

basta scegliere \overline{n} > \frac{1}{ε^{\frac{1}{α}}} .

Riguardo all’estremo superiore, osserviamo che \frac{1}{n^{α}} ≤ 1 ∀n ∈ IN e \frac{1}{n^{α}} = 1 per n = 1. Quindi 1, essendo un maggiorante e facendo parte dell’insieme, é il massimo dell’insieme.

Non avendo fatto alcuna ipotesi su α nel precedente ragionamento, deduciamo che nulla cambia se α ∈ (0, 1), l’importante é che α sia positivo.

Esercizio 3.

Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{\frac{|x − 3|}{|x + 2|} ≤ 1, x ∈ IR, x ≠ −2\}

Specificare se i valori trovati sono massimo e minimo. Si deve scrivere l’insieme sotto forma di unione di intervalli, risolvendo la disequazione. Quindi:

\frac{|x − 3|}{|x + 2|} ≤ 1 ⇔ 1 ≤ \frac{x − 3}{x + 2} ≤ 1

risolviamo le due disequazioni separatamente e intersechiamo i risultati:

\frac{x − 3}{x + 2} − 1 ≤ 0 ⇔ \frac{−5}{x + 2} ≤ 0 ⇔ x ≥ −2;

\frac{x − 3}{x + 2} + 1 ≥ 0 ⇔ \frac{2x − 1}{x + 2} ≥ 0 ⇔ x ≤ −2 e x ≥ \frac{1}{2}.

Quindi la soluzione finale é x ≥ \frac{1}{2}. L’insieme puó essere riformulato nel seguente modo: A = \{x ≥ \frac{1}{2}\}. Pertanto il minimo é \frac{1}{2} e il sup é +∞.

ESERCIZIO 4 Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

C = \{x = \frac{n^{2} − 1}{3n^{2}} + \frac{2}{3}, n ∈ IN \\{0\}\}

L’insieme é costituito da numeri ottenuti sommando a \frac{2}{3} una quantitá strettamente positiva. Quindi sicuramente \frac{2}{3} é un minorante. Inoltre per n = 1 otteniamo che \frac{2}{3} fa parte dell’insieme. Pertanto il minimo dell’insieme é \frac{2}{3}. Osserviamo ora che \frac{n^{2}−1}{3n^{2}} < \frac{1}{3} per ogni n ∈ IN. Infatti

\frac{n^{2} − 1}{3n^{2}} < \frac{1}{3} ⇔ 3n^{2} − 3 < 3n^{2}, vero ∀n ∈ IN .

Quindi 1 é un maggiorante per l’insieme. Cerchiamo di dimostrare che 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} é il sup dell’insieme. Proviamo che ∀ε > 0∃x ∈ C: x > 1 − ε, ovvero

x = \frac{n^{2} − 1}{3n^{2}} + \frac{2}{3} > 1 − ε ⇔ \frac{n^{2} − 1}{3n^{2}} > \frac{1}{3} − ε ⇔ \frac{1}{3} − \frac{1}{3n^{2}} > \frac{1}{3} − ε

⇔ n > \frac{1}{\sqrt{3ε}}.

Esercizio 5 Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

D = \{x = \frac{3n − | sin n|}{n}, n ∈ IN \\{0\}\}

Osserviamo che possiamo scrivere x ∈ D come x = 3 − \frac{| sin n|}{n}, quindi, poiché 3 − \frac{| sin n|}{n} < 3 ∀n ∈ IN, sicuramente l’insieme D é limitato. Proviamo che 3 é l’estremo superiore dell’insieme, ovvero che

∀ε > 0 ∃\overline{n}: 3 − \frac{| sin \overline{n}|}{\overline{n}} > 3 − ε.

Troviamo subito quello che cerchiamo perché, semplificando i 3 si ottiene

\frac{| sin \overline{n}|}{\overline{n}} < ε quindi \frac{| sin \overline{n}|}{\overline{n}} < \frac{1}{n} < ε ⇔ \overline{n} > \frac{1}{ε}.

Abbiamo quindi dimostrato che 3 é il sup dell’insieme. Passiamo all’inf. Avendo a disposizione solo tecniche elementari (non possiamo derivare etc..), dovremo accontentarci di fare un discorso un po’ sommario. Dobbiamo riuscire a capire da quale n naturale la funzione \frac{| sin n|}{n} inzia a decrescere. Infatti, osserviamo che

2 < 3 − \frac{| sin n|}{n} ∀n ∈ IN

quindi 2 é sicuramente un minorante, ma non é l’inf. L’estremo inferiore sará 3 − \frac{| sin 1|}{1} oppure 3 − \frac{| sin 2|}{2}, insomma, uno dei primi termini della successione. Cercando di stimare sin 1 e sin 2, ci si accorge che sin 1 < sin 2, quindi, (se la frazione continua a decrescere, ma questo é molto probabile!!) l’estremo inferiore dovrebbe essere 3 − sin 1.