SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SUL PRINCIPIO DI INDUZIONE

Esercizio 1

(a) ∑_{k=0}^{n} 2^{k} = 2^{n+1} − 1 P_{1} é vera, infatti per n = 1, 2^{0} + 2^{1} = 3 = 2^{1+1} − 1. Supponiamo vera P_{n} e dimostriamo P_{n+1}:

(2^{0} + 2^{1} + ...2^{n}) + 2^{n+1} = (2^{n+1} − 1) + 2^{n+1} = 2 · 2^{n+1} − 1 = 2^{n+2} − 1.

Abbiamo ottenuto P_{n+1}.

(b) ∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} Verifichiamo P_{1} : 1 = \frac{1(1+1)}{2}. Supponiamo vera P_{n} e dimostriamo P_{n+1}:

1 + 2 + 3 + .... + n + (n + 1) = \frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}.

Abbiamo ottenuto P_{n+1}.

(c) se a ≥ −1, (1 + a)^{n} ≥ 1 + na

Verifichiamo P_{1} : 1 + a = 1 + a. Supponiamo vera P_{n} e dimostriamo P_{n+1}:

(1+a)^{n+1} = (1+a)^{n}(1+a) ≥ (1+na)(1+a) = 1+a+na+na^{2} = 1+a(n+1)+na^{2} ≥ 1+a(n+1).

L’ ultima disuguaglianza deriva dal fatto che na^{2} ≥ 0. Abbiamo ottenuto P_{n+1}.

(d)n! ≥ 2^{n−1}

Verifichiamo P_{1} : 1 ≥ 1. Supponiamo vera P_{n} e dimostriamo P_{n+1}:

(n + 1)! = n!(n + 1) ≥ 2^{n−1}(n + 1) ≥ 2 · 2^{n−1} = 2^{n}.

Abbiamo ottenuto P_{n+1}.

(e) se a ≠ 1, ∑_{k=0}^{n} a^{k} = \frac{1−a^{n+1}}{1−a}

Verifichiamo P_{1} : ∑_{k=0}^{1} a^{k} = a^{0} + a^{1} = 1 + a. Supponiamo vera P_{n} e dimostriamo P_{n+1}:

∑_{k=0}^{n+1} = a^{0} + a^{1} + .... + a^{n} + a^{n+1} = \frac{1 − a^{n+1}}{1 − a} + a^{n+1} = \frac{1 − a^{n+2}}{1 − a} .

Abbiamo ottenuto P_{n+1}.

Esercizio 2 Riscriviamo la disuguaglianza come x^{\frac{1}{n}} ≤ 1 + \frac{x−1}{n}, ovvero x ≤ (1 + \frac{x−1}{n})^{n} . Grazie alla disuguaglianza di Bernoulli si ha:

(1 + \frac{x − 1}{n})^{n} ≥ 1 + n\frac{x − 1}{n} = x.

Esercizio 3 Ovviamente un numero pari si scrive come multiplo intero di 2, quindi la nostra tesi é dimostrare che n + n^{2} = 2k, k ∈ IN . Verifichiamo P_{1} : 1 + 1 = 2 é un numero pari. Suppongo vera P_{n}, cioé che n + n^{2} sia pari e dimostro P_{n+1}.

(n + 1) + (n + 1)^{2} = n + 1 + n^{2} + 2n + 1 = (n + n^{2}) + 2n + 2

poiché per ipotesi n + n^{2} é pari, il numero (n + n^{2}) + 2n + 2 é anch’ esso pari, e la tesi é dimostrata.