Am1 primo esonero, 2 novembre 2005 SOLUZIONI

Esercizio 1. Calcolare gli eventuali punti di accumulazione del seguente insieme:

A = \{x = \frac{n}{n + 1}, n ∈ N\}

Dimostrare che il punto x = \frac{10}{11} é isolato. Giustificare le risposte.

Per n ”grande” la frazione \frac{n}{n+1} si avvicina ad uno, quindi proviamo a dimostrare che 1 é punto di accumulazione:

∀ε > 0∃ \overline{n} : |1 − \frac{\overline{n}}{\overline{n} + 1}| < ε

ovvero

∀ε > 0∃ \overline{n} : \frac{1}{\overline{n} + 1} < ε ⇔ \overline{n} > \frac{1}{ε} − 1

e sappiamo che \overline{n} esiste per la proprietá di Archimede. Quindi 1 é di accumulazione. Possiamo osservare che l’insieme é discreto, ovvero numerabile, ovvero puó essere messo in corrispondenza con i naturali, quindi non ci sono altri punti di accumulazione. Questo fatto si dimostra per un punto qualunque dell’insieme esattamente nel modo in cui ora ci accingiamo a provare che x = \frac{10}{11} é isolato. Dimostriamo che esiste un intorno di raggio r in cui non cadono altri punti di A eccetto x = \frac{10}{11}. Tale raggio va scelto nel seguente modo:

r < min \{|\frac{10}{11} − \frac{11}{12}| , |\frac{10}{11} − \frac{9}{10}|\} .

Poiché abbiamo preso un raggio minore della distanza tra x = \frac{10}{11} e i punti prossimi a lui a destra e a sinistra nell’insieme, nell’intorno dato non possono esistere altri punti dell’insieme per costruzione!

Esercizio 2. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme. Specificare se si tratta di massimo o minimo. Giustificare le risposte.

A = \{x = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3 + n} \end{matrix}, n ∈ N\}

L’insieme é costituito da numeri positivi, che al crescere di n decrescono e si ”avvicinano” a 0. Dimostriamo che 0 é l’inf. dell’insieme. Zero é un minorante, infatti

0 < \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3 + n} \end{matrix}∀ n ∈ N

inoltre é il massimo dei minoranti, infatti:

∀ε > 0∃\overline{n} : \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3 + \overline{n}} \end{matrix} < 0 + ε ⇔ \overline{n} > \frac{2}{ε^{2}} − 3.

Passiamo all’estremo superiore: sia 0 ∈ N.

\begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3 + n} \end{matrix} ≤ \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3} \end{matrix} ∀n ∈ N,

quindi, poiché \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3} \end{matrix} appartiene all’insieme (si ottiene per n = 0) ed é un maggiorante, é anche il massimo dell’insieme.

Esercizio 3. Dimostrare per induzione che

(∗) \sqrt{(n + 2)^{n+2}} ≥ \sqrt{(n + 2)!} ∀n ∈ N

Base induttiva: per n = 0 é vero, infatti

\sqrt{(2)^{2}} = 2 ≥ \sqrt{(2)!} = 2.

Passo induttivo: per ipotesi suppongo vera la P_{n}, ovvero (∗), e dimostro P_{n+1}.

\sqrt{(n + 3)^{n+3}} = \sqrt{(n + 3)^{n+2}(n + 3)} ≥ \sqrt{(n + 2)^{n+2}(n + 3)}

a questo punto usiamo l’ipotesi induttiva:

\sqrt{(n + 2)^{n+2}(n + 3)} ≥ \sqrt{(n + 2)!(n + 3)} = \sqrt{(n + 3)!}

quindi, mettendo insieme le due righe di passaggi otteniamo

\sqrt{(n + 3)^{n+3}} ≥ \sqrt{(n + 3)!}

Esercizio 4. Dimostrare UNA delle due proposizioni:

i) Dimostrare che per ogni coppia di numeri a, b ∈ IR, esiste un numero razionale q ∈ Q tale che a < q < b. (Ovvero Q é denso in IR .)

ii) Sia IR definito come campo ordinato in cui vale l’assioma di Dedekind. Sia A ∈ IR un insieme superiormente limitato. Dimostrare che l’insieme dei maggioranti di A ammette minimo. (Ovvero dimostrare l’esistenza dell’estremo superiore)