Simulazione del secondo esonero di AM1

Un consiglio: fatelo da soli e senza libri in tre ore, altrimenti che simulazione sarebbe??

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Calcolare il limite delle seguenti successioni

lim_{n→∞} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} − 1}{log (1 + \frac{1}{n})} lim_{n→∞} (\frac{n}{3} + \frac{1}{n}) sin \frac{5}{n}

Esercizio 2. Studiare il comportamento della seguente serie

∑_{n=1}^{+∞} \frac{\sqrt{n} + 3 sin n}{n − cos n}

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione

a_{n} = \frac{3}{π} arctan(−3)^{n}

Esercizio 4. Dimostrare ENTRAMBI i seguenti teoremi:

Teorema 0.0 Un insieme Q ∈ IR é compatto se e solo se é chiuso e limitato. (Definizione di compatto per successioni: un insieme si dice compatto per successioni se da ogni successione a valori nell’insieme, si puó estrarre una sottosuccessione che converge ad un punto dell’insieme stesso).

Teorema 0.1 Sia ∑ a_{k} una serie qualunque, e supponiamo che la serie ∑ |a_{k}| converga. Allora converge anche la serie ∑ a_{k} di partenza, e si ha:

|∑_{k=1}^{+∞} a_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{+∞} |a_{k}|

(Dare per buono il teorema del confronto per serie a termini positivi)