ESERCIZI SUL PRINCIPIO DI INDUZIONE

Ricordiamo l’enunciato del principio di induzione: Sia {P_{n}}_{n∈IN} una successione di proposizioni. Se :

(i) P_{1} é vera; (ii) P_{k} ⇒ P_{k+1} ∀k ∈ IN, Allora P_{n} é vera ∀n ∈ IN .

Esercizio 1 Dimostrare per induzione le seguenti uguaglianze e disuguaglianze:

(a) ∑_{k=0}^{n} 2^{k} = 2^{n+1} − 1

(b) ∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

(c) se a ≥ −1, (1 + a)^{n} ≥ 1 + na (disuguaglianza di Bernoulli)

(d)n! ≥ 2^{n−1}

(e) se a ≠ 1, ∑_{k=0}^{n} a^{k} = \frac{1−a^{n+1}}{1−a}

Esercizio 2 Se x ≥ 1, usando la disuguaglianza di Bernoulli, dimostrare che

x^{\frac{1}{n}} − 1 ≤ \frac{x − 1}{n} ∀n ∈ IN .

Esercizio 3 Dimostrare che ∀n ∈ IN il numero n + n^{2} é pari.