Cognome e nome Nickname

Am1 secondo esonero 10 gennaio 2006

Esercizio 1. Calcolare il limite della seguente successione

lim_{n→∞} \frac{ne^{log_{2} n}}{(1 + n)| arctan n|}

Dimostrare, usando la definizione di limite, che

lim_{n→∞} \frac{3n^{3}}{n + 1} = +∞

Am1 secondo esonero 10 gennaio 2006

Esercizio 2. Studiare il comportamento della seguente serie:

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{n^{2}e^{n^{2}x}}{log (1 + \frac{1}{n})^{n}}

Am1 secondo esonero 10 gennaio 2006

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione (giustificare le affermazioni)

a_{n} = (1^{2n} + (−1)^{n})2^{n} Am1 secondo esonero 10 gennaio 2006

Esercizio 4. Dimostrare ENTRAMBE LE PROPOSIZIONI SEGUENTI:

Teorema 0.0 Una successione a_{n} é convergente se e solo se é una successione di Cauchy

Ricordiamo che si definisce successione di Cauchy una successione per cui

∀ε > 0∃ ν ∈ IR : ∀n, m > ν, |a_{n} − a_{m}| < ε.

Teorema 0.1 (Criterio del rapporto per serie a termini positivi) Sia ∑ a_{n} una serie a termini positivi, e supponiamo che risulti

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L.

Se L < 1 la serie ∑ a_{n} converge, mentre se L > 1 la serie ∑ a_{n} diverge.