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Am1 primo esonero 2 novembre 2005

Esercizio 1. Calcolare gli eventuali punti di accumulazione del seguente insieme:

A = \{x = \frac{n}{n + 1}, n ∈ N\}

Dimostrare che il punto x = \frac{10}{11} é isolato. Giustificare le risposte.

Am1 primo esonero 2 novembre 2005

Esercizio 2. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme. Specificare se si tratta di massimo o minimo. Giustificare le risposte.

A = \{x = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{3 + n} \end{matrix}, n ∈ N\}

Am1 primo esonero 2 novembre 2005

Esercizio 3. Dimostrare per induzione che

\sqrt{(n + 2)^{n+2}} ≥ \sqrt{(n + 2)!} ∀n ∈ N Am1 primo esonero 2 novembre 2005

Esercizio 4. Dimostrare UNA delle due proposizioni:

i) Dimostrare che per ogni coppia di numeri a, b ∈ IR, esiste un numero razionale q ∈ Q tale che a < q < b. (Ovvero Q é denso in IR .)

ii) Sia IR definito come campo ordinato in cui vale l’assioma di Dedekind. Sia A ∈ IR un insieme superiormente limitato. Dimostrare che l’insieme dei maggioranti di A ammette minimo. (Ovvero dimostrare l’esistenza dell’estremo superiore)