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Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme

A = \{x = ln (1 + \frac{3}{n}) − \frac{n}{2}, n ∈ N \ \{0\}\}

Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 2. Dimostrare per induzione la seguente proposizione

n ; ∑ ; k=1 2^{k} = 2^{n+1} − 2

Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione (giustificare le affermazioni)

a_{n} = n (sin \frac{nπ}{4} − 1)

Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 4. Studiare il comportamento della seguente serie:

+∞ ; ∑ ; n=1( ^{n} \sqrt{n} − 1)^{n};

Studiare il comportamento della seguente serie al variare del parametro reale x.

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{(2x)^{n}}{log n}

Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 5. Calcolare il limite delle seguenti successioni

lim_{n→∞} |cos (\frac{2n^{2} + 3}{7n^{2}})|^{n};  lim_{n→∞} (\frac{n + 2 sin^{2} n}{n})^{\frac{1}{sin^{2} n}} \frac{1}{e^{−\frac{n}{2}}}