Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 16 dicembre 2003

1. Provare che se D è un dominio d’integrità tale che D[X] è un PID, allora D è un campo.

2. Si consideri nell’anello ℤ_{7}[X] il polinomio g(X) = X^{2} + X + 1. (a) Stabilire se l’ideale I = (g(X)) è primo in ℤ_{7}[X].

(b) Calcolare il numero degli elementi dell’anello quoziente ℤ_{7}[X]/I.

(c) Scrivere nella forma (a+bX)+I l’inverso moltiplicativo dell’elemento

invertibile (X^{4} + X^{3} + 5X^{2} + 3X + 2) + I.

3. Nell’anello ℤ_{3}[X] si considerino i seguenti polinomi:

f(X) = X^{3} + 2X^{2} + X + 2 g(X) = X^{4} + 2X^{2} + 1.

(a) Stabilire se gli ideali I = (f(X)) e J = (g(X)) sono primi in ℤ_{3}[X].

(b) Provare che esiste un unico ideale massimale M che contiene sia I che J.

(c) Descrivere il campo ℤ_{3}[X]/M.

4. Si consideri il polinomio

f(X) = 3X^{2} + 4X + 3 ∈ ℤ_{m}[X].

(a) Stabilire se, per m = 2, 3, 7, f(X) è irriducibile.

(b) Per m = 5, spiegare perchè le fattorizzazioni (3X + 2)(X + 4) e (4X + 1)(2X + 3) di f(X) in ℤ_{5}[X] non contraddicono la fattorialità dell’anello ℤ_{5}[X].

(c) Determinare gli elementi idempotenti di ℤ_{5}[X]/I, dove I è l’ideale

generato da f(X) in ℤ_{5}[X].

5. Si consideri nell’anello ℤ_{5}[X] il polinomio f(X) = X^{4}+2; sia I = (X^{4}+2). (a) Verificare che il polinomio f(X) è irriducibile in ℤ_{5}[X].

(b) Descrivere il campo K = ℤ_{5}[X]/I.

(c) Trovare in K l’inverso dell’elemento (X^{2} + X + 1) + I.

6. Sia p un numero primo dispari.

(a) Provare che per a ∈ ℤ_{p}^{⋆} l’equazione X^{2} = a ha una soluzione se e solo se a^{\frac{p−1}{2}} = 1. (Sugg. : ℤ_{p}^{⋆} è un gruppo ciclico.)

(b) Usando il punto precedente, stabilire se il polinomio X^{2} − 6 è irriducibile in ℤ_{17}[X].

(c) Sia I = (X^{2} − 6). Cosa si può dire dell’anello quoziente A = \frac{ℤ_{17}}{I}?

(d) Determinare in A l’inverso dell’elemento 2t − 1 con t = X + I.