Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 28 ottobre 2003

1. Sia G = ⟨g⟩ un gruppo ciclico con 20 elementi.

1. Elencare tutti i generatori di G.

2. Determinare tutti i sottogruppi di G e disegnarne il diagramma lineare.

3. Provare che l’applicazione f : G ⟶ G definita da f(x) = x^{7} è un automorfismo di G.

4. Determinare l’ordine di f in Aut(G).

2. Determinare tutti gli omomorfismi da (ℤ_{20}, +) a (ℤ_{24}, +) e per ciascuno di essi il nucleo e l’immagine.

3. Sia H il sottogruppo ciclico di S_{8} generato da (351)(27)(48). Allora H agisce come un gruppo di trasformazioni sull’insieme X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Calcolare l’orbita e lo stabilizzatore di ogni elemento di X.

4. Sia K il sottogruppo di S_{8} generato da (13) e (247). Allora K agisce come un gruppo di trasformazioni sull’insieme X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Calcolare l’orbita e lo stabilizzatore di ogni elemento di X.

5. Descrivere l’orbita e lo stabilizzatore della matrice (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) quando il

gruppo GL_{2}(ℝ) agisce per coniugazione su se stesso.

Se la matrice (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℤ_{3}), trovare il numero degli elementi della

sua orbita quando il gruppo GL_{2}(ℤ_{3}) agisce per coniugazione su se stesso.

6. Sia G = {z ∈ ℂ | |z| = 1} il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1.

1. Sia z_{0} ∈ G. Provare che z_{0}G = {z_{0}z | z ∈ G} è un sottogruppo di G e calcolare G/z_{0}G.

2. G/⟨−1⟩ è isomorfo ad un gruppo noto. Quale?

3. Siano n > 1 un intero e z_{n} = cos(2π/n) + i sin(2π/n). A quale gruppo (a voi noto) è isomorfo G/⟨z_{n}⟩?