Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 14 ottobre 2003

1. Provare che l’insieme delle matrici non nulle della forma (\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) in M2(ℝ) è, rispetto al prodotto righe per colonne, un gruppo isomorfo al gruppo moltiplicativo ℂ^{⋆}.

2. Sia (G, +) un gruppo abeliano. Provare che per ogni m ∈ ℤ l’applicazione θ_{m} definita da θ_{m}(g) = mg, per ogni g ∈ G, è un omomorfismo di G in se stesso. Se m > 1, cosa si può dire della suriettività di θ_{m}?

3. Siano G un gruppo ed N_{1} e N_{2} suoi sottogruppi normali. Provare che 1. N_{1} ∩ N_{2} è un sottogruppo normale di G;

2. N_{1}N_{2} è un sottogruppo normale di G;

3. se inoltre N_{1} ∩ N_{2} = ⟨e⟩ , allora per ogni n_{1} ∈ N_{1} e per ogni n_{2} ∈ N_{2}

si ha che n_{1}n_{2} = n_{2}n_{1}.

4. In A_{4} si considerino i seguenti sottogruppi:

1. H = ⟨(12)(34)⟩;

2. V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Verificare che

1. H ⊴ V, V ⊴ A_{4} e H non è normale in A_{4}.

2. Stabilire a quali gruppi sono isomorfi A_{4}/V e V/H.

5. Determinare le classi coniugate di A_{4}.

1. Calcolare il numero delle classi coniugate di S_{6} e per ciascuna classe coniugata scrivere esplicitamente un rappresentante.

2. Trovare un elemento τ ∈ S_{6} tale che τ(163)(24)τ^{−1} = (12)(435).