Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 30 settembre 2003

1. Siano (G, ⋆) un gruppo e a, b suoi elementi. Provare che (a ⋆ b)^{−1} = a^{−1} ⋆ b^{−1} se e solo se a ⋆ b = b ⋆ a.

2. Provare che se G è un gruppo con elemento neutro e e tale che x ⋆ x = e per ogni x ∈ G, allora G è abeliano.

3. Scrivere almeno 4 elementi per ciascuno dei seguenti gruppi ciclici:

1. 18ℤ rispetto all’addizione;

2. \{(\frac{1}{3})^{n} | n ∈ ℤ\} rispetto alla moltiplicazione;

3. {π^{n} | n ∈ ℤ} rispetto alla moltiplicazione.

4. Trovare l’ordine del sottogruppo ciclico del dato gruppo generato dall’elemento indicato:

1. il sottogruppo di ℤ_{18} generato da [3]_{18};

2. il sottogruppo di C_{8} generato da cos \frac{3π}{2} + i sin \frac{3π}{2};

5. Nel gruppo GL_{2}(ℚ) sono assegnati gli elementi

a = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix})  e  b = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Determinare l’ordine di a e quello di b e provare che ab è aperiodico.

6. Siano G un gruppo ed a, b suoi elementi tali che ab = ba. Provare che se a è di ordine m, b è di ordine n con m ed n primi tra loro, allora ab è di ordine mn.

7. Siano G un gruppo ed H un suo sottoinsieme non vuoto, \underline{finito} e chiuso rispetto alla operazione (binaria) di G. Provare che H è un sottogruppo di G.

8. Provare che per ogni n ≥ 3 ogni elemento di A_{n} si può scrivere come prodotto di 3-cicli (cicli di lunghezza 3).