Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2002/2003 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Seconda prova di valutazione intermedia 12 gennaio 2004 Soluzioni

1. (10 pt) Siano p un numero primo e A = M_{3} (ℤ_{p}), con l’usuale somma e prodotto righe per colonne.

1. Trovare la cardinalità di A.

2. Sia

B = {M = (m_{ij}) ∈ A : m_{ij} = 0, i ≤ j}

Verificare se

(a) B è un sottoanello di A.

(b) B è un ideale destro o sinistro.

(c) ∀ M ∈ B esiste n ∈ ℕ tale che M^{n} = 0.

3. Definiamo un nuovo prodotto su A: ∀ M e N ∈ A poniamo

M ∗ N = M · N − N · M.

Verificare se ∗ gode delle proprietà

(a) associativa.

(b) distributiva.

Dire se (A, +, ∗), con + l’usuale somma sulle matrici, è un anello.

Soluzione 1.

1. |A| = p^{9}.

2.

(a) B è un sottoanello. Infatti si verifica facilmente che se M e N ∈ B allora:

M − N ∈ B.
MN ∈ B

(b) B non è un ideale né destro né sinistro. Infatti, per esempio:

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & b & 0 \end{matrix} ) ∉ B.

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∉ B.

(c) ∀ M ∈ B si verifica subito che M^{3} = 0.

3. (a) ∗ non è associativo, infatti:

M ∗ (N ∗ P) = MNP − NP M − MP N + P NM

(M ∗ N) ∗ P = MNP − P NM − NMP + P NM.

Quindi M ∗ (N ∗ P) − (M ∗ N) ∗ P = P NM + NMP − NP M − MP N.

(b) ∗ è distributivo Poiché ∗ non è associativo (A, +, ∗) non è un anello.

2. (9 pt) Stabilire se i seguenti ideali di ℤ[X] sono primi e/o massimali: 1. (3, X);

2. (X^{2} − 3X + 2)

3. (X^{2} − 3);

4. (7, X^{2} − 3). Soluzione 2. Usiamo il seguente criterio per stabilire se gli ideali sono primi o massimali.

Iè primo (massimale) ⇔ R/Iè un dominio (campo).

1. ℤ [X] / (3, X) ≅ ℤ_{3}, dunque (3, X) è massimale

2. ℤ [X] / (X^{2} − 3X + 2) non è un dominio, infatti

X^{2} − 3X + 2 = (X − 1) (X − 2) .

Dunque nel quoziente \overline{X − 1} è uno zero divisore non nullo.Quindi (X^{2} − 3X + 2) non è primo.

3. ℤ [X] / (X^{2} − 3) = ℤ [\sqrt{3}], dunque (X^{2} − 3) è primo ma non massimale. Infatti ℤ [\sqrt{3}] è un dominio ma non un campo.

4. Osserviamo che

ℤ [X] / (7, X^{2} − 3) ≅ ℤ [\sqrt{3}] / (7) .

Ricordiamo che ℤ [\sqrt{3}] è un dominio euclideo e che 7 è irriducibile in ℤ [\sqrt{3}], dunque ℤ [\sqrt{3}] / (7) è un campo. Quindi (7, X^{2} − 3) è massimale.

3. (8 pt) Nell’anello degli interi di Gauss ℤ[i] si consideri l’ideale

I = (3 − i, 5 + 10i).

1. Stabilire se I è principale ed eventualmente determinarne un generatore.

2. Stabilire se I è primo e/o massimale.

3. Descrivere l’anello quoziente ℤ[i]/I.(Sugg. Si consideri l’omomorfismo anulare φ : ℤ ⟶ ℤ[i]/I definito da φ(n) = n + I per ogni n ∈ ℤ).

Soluzione 3. Osserviamo che l’anello degli interi Gauss è un dominio euclideo, dunque, in particolare, ℤ[i] è un PID.

1. Per l’osservazione precedente I è principale e il suo generatore è il massimmo comun divisore fra 3 − i e 5 + 10i. Per calcolare il massimo comun divisore applichiamo l’algoritmo euclideo.

5 + 10i = 3i (3 − i) + 2 + i
3 − i = (i − i) (2 + i) + 0.

Dunque I = (MCD(3 − i, 5 + 10i)) = (2 + i).

2. Osserviamo che N(2 + i) = 4 + 1 = 5, dunque 2 + i è irriducibile e I è massimale.

3. Cosideriamo l’omomorfismo φ : ℤ ⟶ ℤ[i]/I definito da φ(n) = n + I per ogni n ∈ ℤ. Allora è facile vedere che ker φ = 5ℤ. Vediamo che è suriettiva. Dimostriamo che per ogni x ∈ ℤ [i], esiste n ∈ ℤ tale che x − n ∈ I, cioè

2 + i|x − n.

Sia w = a + ib ∈ ℤ [i], poniamo x = α + iβ allora

2 + i|x − n ⇔ x − n = w (2 + i)
⇔ α − n + iβ = a + ib (2 + i) = 2a − b + i (a + 2b) .

Da cui

2a − b + n = α  (1)
a + 2b = β  (2)

Dunque, a = β − 2b, n = α − 2β + 5b e b qualsiasi. Da cui φ è suriettiva e per il teorema di omomorfismo si ha

ℤ[i]/I ≅ ℤ_{5}.

4. (9 pt) Si consideri nell’anello ℤ_{3}[X] il polinomio f(X) = X^{3} + 2X^{2} + 1; sia I = (X^{3} + 2X^{2} + 1).

1. Verificare che il polinomio f(X) è irriducibile in ℤ_{3}[X].

2. Descrivere il campo K = ℤ_{3}[X]/I.

3. Trovare in K l’inverso dell’elemento (X^{4} + X) + I.

4. Provare che t = X + I è un generatore del gruppo moltiplicativo K − {0}.

Soluzione 4.

1. Osserviamo che f(0) = 1, f(1) = 1 e f(2) = 2, dunque essendo di 3^{∘} grado f è irriducibile.

K = {a + bX + cX^{2} : a, b, c ∈ ℤ_{3} e X^{3} = X^{2} + 2} .

e ha 3^{3} = 27 elementi.

3. Per trovare l’inverso si X^{4} + X + I dobbiamo risolvere

(X^{4} + X) (a + bX + cX^{2}) = 1 + I.

Risolvendo otteniamo a = 2, b = 1 e c = 2.

4. Osserviamo che K − {0} è un gruppo ciclico con 26 elementi. Per dimostrare che t è un generatore facciamo vedere che n = Ord(t) = 26. Sappiamo dalla teoria che n|26, dunque n = 2, 13 o 26.

t^{2} = X^{2} + I ≠ 1 + I.
t^{13} = X^{13} + I = 2 ≠ 1 + I.

Da cui Ord(t) = 26 e t è un generatore di K − {0}.