Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato - Soluzioni 13 ottobre 2003

1. Provare che l’insieme delle matrici non nulle della forma (\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) in

M_{2}(ℝ) è, rispetto al prodotto righe per colonne, un gruppo isomorfo al gruppo moltiplicativo ℂ^{⋆}.

Sia X tale insieme. Prima di tutto bisogna provare che si tratta di un sot-

togruppo di GL_{2}(ℝ). X ⊆ GL_{2}(ℝ) visto che se A = (\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) ∈ X allora

det(A) = a^{2}+b^{2}. Dato che (a, b) ≠ (0, 0) allora det(A) > 0, e quindi A è inver-

tibile. Se B = (\begin{matrix}c & d \\ −d & c \end{matrix}) allora AB^{−1} = 1/(c^{2} +d^{2}) (\begin{matrix}ac + bd & bc − ad \\ ad − bc & ac + bd \end{matrix}) ∈ X

e quindi X è sottogruppo di GL_{2}(ℝ). Sia ora ϕ : X → ℂ^{⋆} l’applicazio-

ne definita come ϕ ((\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix})) = a + ib ∈ ℂ^{⋆}. ϕ è un omomorfismo di

gruppi dato che ϕ ((\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) (\begin{matrix}c & d \\ −d & c \end{matrix})) = ϕ ((\begin{matrix}ac − bd & ad + bc \\ −bc − ad & ac − bd \end{matrix})) =

ac − bd + i(ad + bc) = (a + ib)(c + id) = ϕ ((\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix})) ϕ ((\begin{matrix}c & d \\ −d & c \end{matrix})) Inoltre

ϕ è suriettivo. Per far vedere che ϕ è un isomorfismo ora basta far vedere che

è iniettivo:ϕ ((\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix})) = a + ib = 1 ⇒ a = 1 ∧ b = 0. Perció Ker(ϕ) = 𝕀

e quindi ϕ è iniettivo.

2. Sia (G, +) un gruppo abeliano. Provare che per ogni m ∈ ℤ l’applicazione θ_{m} definita da θ_{m}(g) = mg, per ogni g ∈ G, è un omomorfismo di G in se stesso. Se m > 1, cosa si può dire della suriettività di θ_{m}?

Basta verificare che ∀a, b ∈ G θ_{m}(a+b) = θ_{m}(a)+θ_{m}(b). θ_{m}(a+b) = m(a+b) cioè (a + b) + ... + (a + b) m volte. Data la commutativitá del gruppo segue che m(a + b) = ma + mb = θ_{m}(a) + θ_{m}(b). Se m > 1 della suriettività di θ_{m} non si può dire nulla. Ad esempio se G = ℤ θ_{m} non è mai suriettiva, se invece G = ℚ allora θ_{m} è sempre suriettiva.

3. Siano G un gruppo ed N_{1} e N_{2} suoi sottogruppi normali. Provare che

1. N_{1} ∩ N_{2} è un sottogruppo normale di G; 2. N_{1}N_{2} è un sottogruppo normale di G;

3. se inoltre N_{1} ∩ N_{2} = ⟨e⟩ , allora per ogni n_{1} ∈ N_{1} e per ogni n_{2} ∈ N_{2} si ha che n_{1}n_{2} = n_{2}n_{1}.

1. Sia g ∈ G, n ∈ N_{1} ∩ N_{2}. Poiché N_{1} e N_{2} sono normali si ha che gng^{−1} ∈ N_{1} ∩ N_{2} e quindi N_{1} ∩ N_{2} è un sgr. normale di G.

2. Dato che N_{1} e N_{2} sono sgr. normali di G si ha che N_{1}N_{2} è un sgr. di G. Sia poi g ∈ G. Allora sfruttando prima la normalità di N_{1} e poi quella di N_{2} si ha: gN_{1}N_{2} = N_{1}gN_{2} = N_{1}N_{2}g e perciò N_{1}N_{2} è normale in G.

3. n_{1}n_{2} = n_{2}n_{1} ⇔ x := n_{1}n_{2}n_{1}^{−1}n_{2}^{−1} = e. Data la normalità di N_{1} si ha che n_{2}n_{1}^{−1}n_{2}^{−1} ∈ N_{1} e perciò x ∈ N_{1}. Data la normalità di N_{2} si ha che n_{1}n_{2}n_{1}^{−1} ∈ N_{2} e perciò x ∈ N_{2}. Quindi x ∈ N_{1} ∩ N_{2} ⇒ x = e.

4. In A_{4} si considerino i seguenti sottogruppi:

1. H = ⟨(12)(34)⟩;

2. V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Verificare che

1. H ⊴ V, V ⊴ A_{4} e H non è normale in A_{4}.

2. Stabilire a quali gruppi sono isomorfi A_{4}/V e V/H.

1. H ⊴ V semplicemente perché V è un gruppo abeliano. Per verificare invece che V ⊴ A_{4} bisogna controllare che ∀g ∈ A_{4} gV g^{−1} ⊆ V. In realtà basta verificarlo per un sottoinsieme di generatori di A_{4}, ad esempio per (123) e (124). Infine H non è normale in A_{4} dato che

(123) (12)(43) (132) = (23)(14) ∉ H.

2. Dato che A_{4}, V, e H sono gruppi finiti si ha che card(A_{4}/V) = card(A_{4})/card(V) = 12/4 = 3. Perciò A_{4}/V è un gruppo ciclico con 3 elementi. Analogamente card(V/H) = 2 e quindi V/H è un gruppo ciclico con 2 elementi.

5. Determinare le classi coniugate di A_{4}.

1. Calcolare il numero delle classi coniugate di S_{6} e per ciascuna classe coniugata scrivere esplicitamente un rappresentante.

2. Trovare un elemento τ ∈ S_{6} tale che

τ(163)(24)τ^{−1} = (12)(435).

Le classi coniugate di A_{4} sono:

1. {id}

2. {(123), (243), (134), (142)}

3. {(132), (143), (124), (234)}

4. {((12)(34), (13)(24), (14)(23)} Si noti che elementi che in A_{4} non sono coniugati lo possono essere però in S_{4} (ad esempio (123) e (132)). Naturalmente elementi che sono coniugati in A_{4} sono necessariamente coniugati anche in S_{4}.

1. Il numero delle classi coniugate di S_{6} corrisponde al numero delle partizioni di 6, ciascuna partizione indicando la struttura in cicli disgiunti delle permutazioni della rispettiva classe di coniugio. Quindi:

(a) 6 = 6 → rappresentante corrispondente: (123456)

(b) 6 = 5 + 1 → rappresentante corrispondente: (12345)

(c) 6 = 4 + 2 → rappresentante corrispondente: (1234)(56)

(d) 6 = 4 + 1 + 1 → rappresentante corrispondente: (1234)

(e) 6 = 3 + 3 → rappresentante corrispondente: (123)(456)

(f) 6 = 3 + 2 + 1 → rappresentante corrispondente: (123)(45)

(g) 6 = 3 + 1 + 1 + 1 → rappresentante corrispondente: (123)

(h) 6 = 2 + 2 + 2 → rappresentante corrispondente: (12)(34)(56)

(i) 6 = 2 + 2 + 1 + 1 → rappresentante corrispondente: (12)(34)

(j) 6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 → rappresentante corrispondente: (12)

(k) 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 → rappresentante corrispondente: id

2. τ è ad esempio (214)(356).