Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato - Soluzioni 30 settembre 2003

1. Siano (G, ⋆) un gruppo e a, b suoi elementi. Provare che (a ⋆ b)^{−1} = a^{−1} ⋆ b^{−1} se e solo se a ⋆ b = b ⋆ a.

a ⋆ b = b ⋆ a ⇒ (a ⋆ b)^{−1} = (b ⋆ a)^{−1} = a^{−1} ⋆ b^{−1} a^{−1} ⋆ b^{−1} = (a ⋆ b)^{−1} ⇒ (a^{−1} ⋆ b^{−1})^{−1} = a ⋆ b ⇒ b ⋆ a = a ⋆ b

2. Provare che se G è un gruppo con elemento neutro e e tale che x ⋆ x = e per ogni x ∈ G, allora G è abeliano.

(a⋆b)⋆(a⋆b) = e = a⋆a = a⋆e⋆a = a⋆(b⋆b)⋆a = (a⋆b)⋆(b⋆a) ⇒ (a⋆b) = (b⋆a) per la legge di cancellazione destra.

3. Scrivere almeno 4 elementi per ciascuno dei seguenti gruppi ciclici:

1. 18ℤ rispetto all’addizione;

2. \{(\frac{1}{3})^{n} | n ∈ ℤ\} rispetto alla moltiplicazione;

3. {π^{n} | n ∈ ℤ} rispetto alla moltiplicazione.

1. 0, 18, −18, 180

2. \frac{1}{3}, 3, 1, 9

3. 1, π, \frac{1}{π}, π^{2}

4. Trovare l’ordine del sottogruppo ciclico del dato gruppo generato dall’elemento indicato:

1. il sottogruppo di ℤ_{18} generato da [3]_{18};

2. il sottogruppo di C_{8} generato da cos \frac{3π}{2} + i sin \frac{3π}{2};

Sia G un gruppo con el. neutro e e g un suo elemento di ordine m. Sia n ∈ ℕ. Allora x = ordine di g^{n} = \frac{m}{MCD(m,n)}. Infatti (g^{n})^{x} = e ⇒ m|nx ⇒

\frac{m}{MCD(n,m)}|\frac{n}{MCD(n,m)} · x ⇒ \frac{m}{MCD(n,m)}|x. Inoltre (g^{n})^{\frac{m}{MCD(n,m)}} = (g^{\frac{n}{MCD(n,m)}} )^{m} = e ⇒ x|\frac{m}{MCD(n,m)} 1. g = [1]_{18}, m = 18, n = 3. Quindi l’ordine è 6;

2. g = cos \frac{2π}{8} + i sin \frac{2π}{8}, m = 8, n = 6. Quindi l’ordine è 4.

5. Nel gruppo GL_{2}(ℚ) sono assegnati gli elementi

a = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix})  e  b = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Determinare l’ordine di a e quello di b e provare che ab è aperiodico.

L’ordine di a e di b è 2. ab = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Per induzione si mostra che

∀n ∈ ℕ (ab)^{n} = (\begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}). Quindi ab è aperiodico.

6. Siano G un gruppo ed a, b suoi elementi tali che ab = ba. Provare che se a è di ordine m, b è di ordine n con m ed n primi tra loro, allora ab è di ordine mn.

Poichè ab = ba si ha che (ab)^{nm} = a^{nm} · b^{nm} = (a^{m})^{n} · (b^{n})^{m} = e (el. neutro di G) , pertanto ab é di ordine finito. Sia s l’ordine di ab; allora s|nm. Inoltre (ab)^{s} = e ⇒ a^{s} = b^{−s}. Quindi a^{s} e b^{s} = (b^{−s})^{−1} hanno lo stesso ordine. Per quanto visto (cfr. ex. 4 - oppure si consideri l’uguaglianza (a^{s})^{m} = (a^{m})^{s} = e) l’ordine di a^{s} divide m e, analogamente, divide n (poichè è uguale all’ordine di b^{s}). Perciò l’ordine di a^{s} divide MCD(n, m) = 1. Quindi ord(a^{s}) = 1 ⇒ a^{s} = e, b^{s} = e ⇒ s|n, s|m ⇒ s|mcm(n, m) = nm.

7. Siano G un gruppo ed H un suo sottoinsieme non vuoto, \underline{finito} e chiuso rispetto alla operazione (binaria) di G. Provare che H è un sottogruppo di G.

Dato che H è chiuso rispetto all’operazione di G per mostrare che H è effettivamente un sottogruppo di G basta mostrare che ∀h ∈ H h^{−1} ∈ H. Siccome H è finito esistono n, m ∈ ℕ t.c. h^{n} = h^{m} con m > n. Perciò h^{m−n} = e ⇒ h^{m−n−1} è l’inverso di h e appartiene ad H (se m − n − 1 = 0 allora h = e).

8. Provare che per ogni n ≥ 3 ogni elemento di A_{n} si può scrivere come prodotto di 3-cicli (cicli di lunghezza 3).

Ogni elementi di A_{n} si può scrivere come prodotto di un numero pari di trasposizioni. Ad ogni coppia di trasposizioni (n m) ∘ (p q) si può sostituire uno o più 3-cicli secondo le seguenti regole:

1. Se {n, m} ∩ {p, q} = ∅ allora (n m) ∘ (p q) = (n q p) ∘ (n m p)

2. Se n = p allora (n m) ∘ (n q) = (n q m). Notare che se non vale il caso 1. ci si può sempre ridurre al caso 2.