Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2002/2003 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Prima prova di valutazione intermedia 5 novembre 2003

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. (8 pt) Determinare l’ordine , la parità e la classe di coniugio dei seguenti elementi di S_{14}:

1. f = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 2 & 1 & 14 \end{matrix} );

2. g = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 4 & 7 & 10 & 2 & 14 & 12 & 13 & 5 & 6 & 8 & 3 & 1 & 9 & 11 \end{matrix} ).

2. (7 pt) Si consideri il gruppo ciclico ℤ_{18}. 1. Elencare i generatori di ℤ_{18}.

2. Descrivere il sottogruppo di ℤ_{18} di ordine 6.

3. Sia H il sottogruppo di ℤ_{216} di indice 12. Elencare i suoi generatori.

4. Dire quanti sono gli omomorfismi suriettivi da ℤ_{216} su ℤ_{54}.

3. (6 pt) Nel gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli ℂ^{∗} si consideri la seguente relazione d’equivalenza ρ:

αρβ ⇔ α|β| = β|α|, α, β ∈ ℂ^{∗}.

1. Verificare che ρ è compatibile con l’operazione in ℂ^{∗}.

2. Descrivere esplicitamente il sottogruppo [1]_{ρ}.

3. Provare che ℂ^{∗}/[1]_{ρ} è isomorfo ad H = {z ∈ ℂ | |z| = 1}.

4. (6 pt) Si consideri il gruppo additivo dei numeri razionali ℚ.

1. Sia α un numero razionale non nullo. Verificare che l’applicazione μ_{α} : ℚ ⟶ ℚ definita da μ_{α}(x) = αx per ogni numero razionale x è un automorfismo di ℚ.

2. Provare che (Aut(ℚ), ∘) è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri razionali non nulli ℚ^{∗}.

5. (14 pt) Sia T = \{A = ( \begin{matrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) : a, b, c ∈ ℤ_{2}\}.

1. Determinare il numero degli elementi di T e verificare che T è un sottogruppo di Gl_{3} (ℤ_{2}) rispetto al prodotto righe per colonne.

2. Per ciascun divisore, n, dell’ordine di T, elencare gli elementi di T di ordine n.

3. Calcolare il centro di T.

4. Determinare tutti i sottogruppi normali di T e, a meno di isomorfismo, i gruppi ad esso omomorfi.

5. Verificare che T ≅ D_{4}.