Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2002/2003 AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi APPELLO A 29 gennaio 2004

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

GRUPPI

1. Per interi positivi fissati m_{0},n_{0}, b_{0} si consideri il \underline{sottoinsieme} S del gruppo GL(3, ℤ) delle matrici invertibili del terzo ordine ad elementi in ℤ (rispetto al prodotto righe per colonne) definito da:

S = \{(\begin{matrix}1 & m & n \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ GL(3, ℤ) | m_{0}|m, n_{0}|n, b_{0}|b\}

(a) Trovare una condizione necessaria e sufficiente su m_{0}, n_{0}, b_{0} affinché S sia un sottogruppo di GL(3, ℤ).

(b) Nel caso in cui S sia un sottogruppo di GL(3, ℤ)

i. trovare il centro di S, Z(S); ii. determinare, a meno di un isomorfismo, il gruppo quoziente

S/Z(S).

2. (a) Sia G un gruppo; provare che se H è un sottogruppo \underline{normale} di G di indice n, allora per ogni g ∈ G si ha che g^{n} ∈ H.

(b) Mostrare con un esempio che il risultato del punto (a) è falso se H non è normale in G.

(c) Provare che il gruppo alterno A_{4} non ha un sottogruppo di ordine 6. (Sugg. : Trovare almeno 8 elementi di A_{4} che sono quadrati ed applicare il punto (a) ).

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

ANELLI E CAMPI

3. Siano X un insieme non vuoto e P(X) l’insieme delle sue parti.

Allora (P(X), +, ·), dove + è la differenza simmetrica, A + B = AΔB = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A) con A, B sottoinsiemi di X, e · è la intersezione, è un anello commutativo unitario; inoltre tale anello è booleano, cioé per ogni A ∈ P(X) si ha che A^{2} = A.

(a) Provare che P(X) è un dominio d’integrità se e solo se |X| = 1.

(b) Sia x ∈ X; sia

I_{x} = {A ∈ P(X) | x ∉ A} .

Provare che I_{x} è un ideale massimale di P(X).

(c) Provare che P(X)/I_{x} ≅ ℤ_{2}.

(d) Se |X| = 3, determinare tutti gli ideali di P(X) e mostrare che ogni ideale massimale è del tipo I_{x} per qualche x ∈ X.

4. Sia r ∈ ℤ_{p} con p numero primo. Sia

A = \{(\begin{matrix}a & b \\ br & a \end{matrix}) | a, b ∈ ℤ_{p}\} .

(a) Verificare che A è un sottoanello commutativo ed unitario dell’anello M_{2}(ℤ_{p}) con p^{2} elementi.

(b) Provare che A è un sottocampo di M_{2}(ℤ_{p}) se e solo se r non è un quadrato in ℤ_{p} .

(c) Determinare per quali r ∈ ℤ_{11} l’anello A è un campo.

(d) Determinare un isomorfismo esplicito tra A e ℤ_{p}[X]/(X^{2} − r).