Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Soluzioni 21 Novembre 2004

1 Definizione di Anello

1. Binomio Sia R un anello. Siano a e b ∈ R, allora:

(a) Dimostrare che (a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}.

(b) Trovare la forma del teorema del binomio in R; trovare cioè un’espressione per (a + b)^{n}, con n intero positivo.

Soluzione 1.1. (a) Usiamo la distributività,

(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2}

(b)

(a + b)^{n} = ∑_{i=(i_{0},··· ,i_{n})} a^{i_{0}}b^{i_{1}} ⋯ b^{i_{n−1}}a^{i_{n}}

tale che i_{0} + ⋯ + i_{n} = n.

2. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i < j}. Dimostrare che R è un sottoanello unitario di M_{n} (ℝ).

Soluzione 1.2. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di prodotto riga per colonna. L’unità di R è I = (a_{ij}) : a_{ii} = 1 e a_{ij} = 0 per i ≠ j.

3. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i ≤ j}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{n} (ℝ). R è unitario ?

Soluzione 1.3. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di prodotto riga per colonna. R non è unitario.

4. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{3} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i = 2 o j = 2}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{3} (ℝ). R è unitario ?

Soluzione 1.4. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di

prodotto riga per colonna. L’unità di R è I = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

5. Sia R = {a = (a_{n})_{n∈ℕ} : a_{n} ∈ ℚ e a_{n} quasi tutti nulli}. Per ogni a e b ∈ R definiamo

• a + b = (a_{n} + b_{n})_{n∈N}

• a · b = (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ}

Verificare se R è un anello.

Soluzione 1.5. Semplice verifica degli assiomi.

2 Ideali

1. Sia R un anello, I un ideale di R e 1 ∈ I allora I = R

Soluzione 2.1. Ricordiamo che se I è un anello allora, ∀a ∈ I e ∀b ∈ R: ba ∈ I. Poiché 1 ∈ I allora,∀a ∈ R, a = a · 1 ∈ I.

2. Sia R un anello commutativo e a ∈ R

(a) dimostrare che aR = {ar : r ∈ R} è un ideale bilatero di R.

(b) dimostrare con un esempio che ciò può non essere vero se R non è commutativo.

Soluzione 2.2. (a) aR è un idela destro per definizione, poichè R è commutativo, ogni ideale destro è anche un ideale sistro.

(b) Consideriamo R = M_{2}(ℝ), a = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Allora

aR = {A = (a_{ij}) : a_{2j} = 0∀j}

che è un ideale destro ma non sinistro.

3. Dimostrare che tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ.

Soluzione 2.3. Sappiamo che un ideale di un anello R è anche un sottogruppo additivo. I sottogruppi additivi di ℤ sono nℤ, per cui tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ. É facile verificare che ogni nℤ è un ideale.

4. Dimostrare che nℤ è un ideale primo se e solo se n è primo o n = 0.

Soluzione 2.4. Supponiamo I primo non nullo. Allora I = nℤ per qualche n.

I primo ⇒ ∀a e b ∈ R : ab ∈ I allora a ∈ I o b ∈ I.

La seconda parte ci dice che:

∀a e b ∈ ℤ : n|ab ⇒ n|a o n|b.

Dunque n è primo. Il viceversa è ovvio.

5. Sia I un ideale di ℤ non nullo. Dimostrare che I è primo ⇔ I è massimale.

Soluzione 2.5. Usiamo la seguente caratterizazione degli ideali massimali:

I è massimale ⇔ R/I è un campo.

Grazie all’esercizio 4 sappiamo che I è primo non nullo ⇔ I = pℤ con p primo. Dunque

ℤ/I = ℤ/pℤ è un campo ⇒ I è massimale.

Il viceversa è sempre vero, ogni ideale massimale è primo.

6. Teorema Cinese dei resti Siano I_{1}, ⋯, I_{n} ideali di R, anello commutativo con identità, tali che I_{i} + I_{j} = R per ogni i ≠ j. Siano x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ R, allora esiste x ∈ R tale che x ≡ x_{i} mod I_{i}. Verificare che per R = ℤ si ottiene l’usuale teorema cinese dei resti.

Soluzione 2.6. Dimostriamolo per induzione. Se n = 2, abbiamo

1 = a_{1} + a_{2}

per qualche elemento a_{i} ∈ I_{i}, e poniamo x = x_{2}a_{1} + x_{1}a_{2}. Per i ≥ 2, possiamo trovare degli elementi a_{i} ∈ a_{1} e b_{i} ∈ a_{i} tali che

1 = a_{i} + b_{i}, ∀i ≥ 2.

Il prodotto ∏_{i=2}^{n} a_{i} + b_{i} è uguale ad 1, e vive in I_{1} + ∏_{i=2}^{n} I_{i}. Dunque

I_{1} + ∏_{i=2}^{n} I_{i} = A.

Grazie al teorema per n = 2, esiste y_{1} ∈ A tale che

y_{1} ≅ 1 mod I_{1}  (1)
y_{1} ≅ 0 mod ∏_{i=2}^{n} I_{i}  (2)

Per induzione esistono y_{2} · y_{n} tali che

y_{i} ≅ 1 mod I_{i}  (3)
y_{i} ≅ 0 mod I_{j} i ≠ j.  (4)

Allora x = x_{1}y_{1} + · + x_{n}y_{n} è l’elemento cercato.

7. Consideriamo (a) ℤ_{30} e R = \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} ⊂ ℤ_{30}.

(b) ℤ_{20} e R = \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} ⊂ ℤ_{20}. Verificare, in entrambi i casi, se R è un sottoanello, ha divisori dello zero, ed è un campo. Trovare un anello ad esso isomorfo. Soluzione 2.7. (a) \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} è un sottoanello, non ha diviso-

ri dello zero, è un campo ed è isomorfo a ℤ_{5}.

(b) \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} è un sottoanello, ha divisori dello zero 10 ∗ 10 = 100 = 0 mod 20, dunque non è un campo ed è isomorfo ℤ_{4}.