Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato - Soluzioni 2 dicembre 2003

1. Un ideale I di un anello commutativo ed unitario A si dice primario se

ab ∈ I, a ∉ I ⟹ ∃n ≥ 1 tale che b^{n} ∈ I.

(a) Verificare che ogni ideale primo di A è primario.

(b) Provare che un ideale I di A è primario se e solo se ogni zero-divisore di A/I è nilpotente.

(c) Verificare che l’ideale 8ℤ di ℤ è primario.

(d) Verificare che l’ideale 6ℤ di ℤ non è primario.

(e) Dare una caratterizzazione degli ideali primari di ℤ.

(a) Sia P ideale primo di A. Allora ab ∈ P, a ∉ P ⇒ b^{1} ∈ P, quindi P è primario.

(b) Sia I un ideale primario di A e sia x + I uno zero-divisore di A/I (x ∈ A). Per def. di zero-divisore x + I ≠ 0 + I (cioè x ∉ I) e ∃y ∈ A − I t.c. (x + I)(y + I) = 0 + I (cioè xy ∈ I). y ∉ I ⇒ ∃n ≥ 1 t.c. x^{n} ∈ I (per def. di ideale primario) ⇒ (x + I)^{n} = 0 + I ⇒ x + I è nilpotente. Supponiamo ora che ogni zero-divisore di A/I è nilpotente. Sia ab ∈ I, a ∉ I. Quindi (a+I)(b+I) = 0+I, da cui b+I o è l’elemento nullo (cioè b^{1} ∈ I) o b + I è uno zero-divisore e perciò anche nilpotente per ipotesi: ∃n ≥ 1 t.c. b^{n} ∈ I. Si conclude che I è primario.

(c) Sia ab ∈ 8ℤ, a ∉ 8ℤ. Si ha quindi che 8|ab, 8\overline{|}a ⇒ 2|b. Perciò 8|b^{3} ⇒ b^{3} ∈ 8ℤ. Per def. 8ℤ è primario.

(d) 2 · 3 ∈ 6ℤ, 2 ∉ 6ℤ, ma ∀k ≥ 1 3^{k} ∉ 6ℤ.

(e) Gli ideali primari di ℤ sono tutti e soli gli ideali principali della forma (p^{k}) con p primo. Infatti si verifica facilmente che ∀p ∈ ℤ, p primo e ∀k ∈ ℕ, k ≥ 1 (p^{k}) è un ideale primario. Se poi I = (m) è ideale di ℤ e ∃q, q′ ∈ ℤ, q, q′ ≠ ±1, MCD(q, q′) = 1 t.c. m = qq′, allora I non è primario: qq′ ∈ I, q ∉ I e ∀k ≥ 1 q′^{k} ∉ I.

2. (a) Sia A un anello commutativo ed unitario dotato di un solo ideale massimale M. Provare che un elemento di A è invertibile se e solo se appartiene a A − M.

(b) Trovare gli ideali massimali di ℤ_{5}, di ℤ_{9} e di ℤ_{10}.

(c) Determinare per quali interi m ≥ 2 l’anello ℤ_{m} possiede un solo ideale massimale.

(a) Sia x ∈ A, x invertibile. Allora x ∉ M altrimenti M = A. Sia ora y ∈ A − M. Se y non fosse invertibile allora (y) ⊊ A e quindi per il teorema di Krull ∃M′ ideale massimale t.c. (y) ⊆ M′. Siccome A ha un solo ideale massimale segue necessariamente che M = M′. Perciò (y) ⊆ M che contraddice l’ipotesi.

(b) In generale cerchiamo gli ideali massimali di ℤ_{m} (m ≥ 2). Consideriamo l’omomorfismo ϕ : ℤ → ℤ_{m} t.c. ϕ(x) = [x]_{m}. ϕ è suriettivo e ha nucleo = mℤ. Siccome ϕ è suriettivo, ϕ induce una corrispondenza biunivoca, che conserva le inclusioni, tra gli ideali di ℤ_{m} e gli ideali di ℤ che contengono ker ϕ = mℤ. Siccome la corrispondenza conserva le inclusioni, gli ideali massimali di ℤ_{m} sono tutti i soli gli ideali immagine, tramite ϕ, di ideali massimali in ℤ che contengono mℤ. Gli ideali massimali in ℤ sono tutti e soli della forma (p) con p primo. Inoltre (m) ⊆ (p) ⇔ p|m. In conclusione gli ideali massimali di ℤ_{m} sono gli ideali generati da [p]_{m} con p primo che divide m. Nel caso specifico: ℤ_{5} ha solo l’ideale nullo come ideale massimale (e infatti ℤ_{5} è un campo); ℤ_{9} ha solo l’ideale ([3]_{9}) come ideale massimale; ℤ_{10} ha due ideali massimali: ([2]_{10}) e ([5]_{10}).

(c) Per il punto precedente segue che ℤ_{m} ha un solo ideale massimale sse m ha un solo fattore primo, ovvero ∃p primo, k ≥ 1 t.c. m = p^{k}.

3. Sia A = ℚ[X] l’anello dei polinomi a coefficienti razionali; fissato un numero razionale q, si consideri l’ideale

I_{q} = {f(X) ∈ A | f(q) = 0} .

(a) Provare che I_{q} è un ideale massimale di A.

(b) Se q e q′ sono due numeri razionali distinti, provare che I_{q} ∩ I_{q′} è un ideale di A che \underline{non} è un ideale primo.

(a) Proviamo che I_{q} è un ideale massimale di A in due modi distinti:

i. Consideriamo l’omomorfismo ϕ : ℚ[X] → ℚ t.c. ∀f(x) ∈ ℚ[X] si ha ϕ(f(x)) = f(q). Si verifica facilmente che ϕ è effettivamente un omomorfismo, è suriettivo e il suo nucleo è proprio I_{q}. Per il teor. fond. di omom. tra anelli si ha che ℚ[X]/I_{q} ≃ ℚ. Ma ℚ è un campo, perciò I_{q} è massimale.

ii. I_{q} certamente contiene l’ideale J = (X − q) ⊊ A. Inoltre I_{q} ≠ A (ad esempio 1 ∉ I_{q}). X − q è irriducibile in A (è un polinomio di primo grado) e A è un anello a ideali principali ⇒ J è un ideale massimale ⇒ I_{q} = J è massimale. Possibile variante: sfruttando il fatto che A non solo è un dominio a ideali principali, ma è addirittura un dominio euclideo, si può far vedere direttamente che I_{q} = J. Infatti J ⊆ I_{q} e dato f(x) ∈ I_{q} possiamo dividere f(X) per X − q: ∃q(X), r(X) ∈ A con r(X) = 0 oppure deg(r(X)) < deg(X − q) = 1 t.c. f(X) = q(X)(X −q)+r(X). Questo implica che r(q) = 0. Ciò è possibile sse r(X) è il polinomio nullo.

(b) J = I_{q} ∩ I_{q′} è un ideale di A perché intersezione di due ideali. Non è primo: infatti (X − q)(X − q′) ∈ J ma X − q ∉ J (visto che X − q ∉ I_{q′} dato che q′ − q ≠ 0) e X − q′ ∉ J (visto che X − q′ ∉ I_{q} dato che q − q′ ≠ 0).

4. Sia p un numero primo fissato ed

A = \{(\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) | a, b ∈ ℚ\} .

(a) Verificare che A è un sottoanello di M_{2}(ℚ), commutativo ed unitario.

(b) Provare che A è un campo determinando esplicitamente l’inverso di ogni suo elemento non nullo.

(c) Determinare un isomorfismo esplicito tra A e il campo ℚ[X]/(X^{2}−p).

(a) ∀a, b, c, d ∈ ℚ (\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) − (\begin{matrix}c & dp \\ d & c \end{matrix}) = (\begin{matrix}a − c & (b − d)p \\ b − d & a − c \end{matrix}) ∈ A. A

quindi è un sgr. di M_{2}(ℚ). Inoltre ∀a, b, c, d ∈ ℚ (\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) (\begin{matrix}c & dp \\ d & c \end{matrix})

= (\begin{matrix}c & dp \\ d & c \end{matrix}) (\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}ac + bdp & (ad + bc)p \\ ad + bc & ac + bdp \end{matrix}) ∈ A. Quindi A è

un sottoanello commutativo di M_{2}(ℚ). È anche unitario visto che la

matrice identità 𝕀 = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ A (a = 1, b = 0).

(b) Essendo A un sottoanello unitario di M_{2}(ℚ), per verificare che è un campo basta far vedere che ∀P ∈ A, P ∈ GL_{2}(ℚ) e P^{−1} ∈ A.

Sia P una generica matrice di A: P = (\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) , a, b ∈ ℚ. det(P) =

a^{2} − b^{2}p ≠ 0 (altrimenti \sqrt{p} sarebbe un numero razionale). Quindi

P ∈ GL_{2}(ℚ). P^{−1} = \frac{1}{det(P)} (\begin{matrix}a & −bp \\ −b & a \end{matrix}) ∈ A.

(c) Sia I = (X^{2} − p). Usando le notazioni al punto precedente, si consideri ϕ : A → ℚ[X]/I t.c. ϕ(P) = a + bX + I. Si verifica facilmente che ϕ è un omomorfismo. Sia ora f(X)+I ∈ ℚ[X]/I . Dividendo f(X) per X^{2} −p si ottiene un resto r(X) nullo o di grado ≤ 1, cioè r(x) è del tipo a+bX (a, b ∈ ℚ). Quindi ϕ(P) = r(X) + I = f(X) + I, perciò ϕ è suriettivo. Sia ora P ∈ A t.c. ϕ(P) = 0 + I, cioè P è t.c. a + bX ∈ I. Siccome I contiene solo polinomi di grado ≥ 2 oltre al pol. nullo, segue che a + bX = 0, ovvero a, b = 0, ovvero P = 0. Quindi ϕ è iniettivo.

5. Si consideri il seguente sottoinsieme dell’anello ℚ[X] :

A = {a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} | n ≥ 0, a_{0} ∈ ℤ, a_{i} ∈ ℚ per i ≥ 1} .

(a) Verificare che A è un sottoanello di ℚ[X].

(b) Provare che il seguente sottoinsieme di A

I = {b_{1}X + ⋯ + b_{j}X^{j} + ⋯ + b_{m}X^{m} | m ≥ 1, b_{j} ∈ ℚ perj ≥ 1}

è un ideale primo di A.

(c) Descrivere gli elementi dell’ideale generato da X in A.

(d) Provare che I non è un ideale principale. (Sugg. X ∈ I)

(a) Siano f(X) ∈ A, g(X) ∈ A. Quindi ∃a_{0}, b_{0} ∈ ℤ e a_{i}, b_{j} ∈ Q (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, a_{n} e b_{m} ≠ 0) t.c. f(X) = a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n} e g(X) = b_{0} + b_{1}X + ... + b_{m}X^{m}. Allora f(X) − g(X) = (a_{0} − b_{0}) + (a_{1} − b_{1})X + ... ∈ A e f(X)g(X) = a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})X + ... ∈ A (dato che a_{0} − b_{0} e a_{0}b_{0} ∈ ℤ). Quindi A è un sottoanello di ℚ[x]. Inoltre 1_{A} = 1_{ℚ[X]} = 1.

(b) I ⊆ A e I = Xℚ[X]. Quindi I è un ideale primo di ℚ[X] (X è un pol.irrid. e ℚ[X] è un dominio a ideali principali). Ma allora, dato che A è un sottoanello unitario di ℚ[X], I è anche un ideale primo di A.

(c) XA = {a_{1}X +a_{2}X^{2} +...+a_{n}X^{n} con n ≥ 0, a_{1} ∈ ℤ, a_{i} ∈ ℚ per i ≥ 1}.

(d) Supponiamo per assurdo che I è un ideale principale: allora ∃f(X) ∈ A t.c. I = f(X)A. Siccome X ∈ I allora deve esistere g(X) ∈ A t.c. X = g(X)f(X). Passando ai gradi: 1 = deg(X) = deg(g(X)) + deg(f(X)). Dato che f(X) ∈ I allora deg(f(X)) ≥ 1. Quindi deg(f(X)) = 1 e deg(g(X)) = 0, ovvero g(X) = c ∈ ℤ ⇒ f(X) = c^{−1}X. Consideriamo ora h(X) = (2c)^{−1}X. h(X) ∈ I, ma h(X) ∉ f(X)A (h(X) si dovrebbe poter scrivere come prodotto di c^{−1}X per una costante in ℤ, ma 1/2 ∉ ℤ). Assurdo.